15.1.2. Механики – Вариньона и Даламбера

Хотя корни теоретической механики уходят в древнюю Античность, начинаясь со знаменитых «Механических проблем» Аристотеля, её развитие за последующие 2000 лет носило крайне фрагментарный характер, т.к. каждая конкретная задача решалась изолировано от других аналогичных задач, а достоверность и ясность результата целиком зависели от интуиции и мастерства исследователя. И только на пороге XVIII века, когда вышли в свет ньютоновские «Начала», стали складываться некоторые общие подходы к постановке и анализу типовых механических задач, а также формироваться типовые расчётно-геометрические схемы механических систем и их элементов. И одну из важнейших ролей в этом процессе сыграл Пьер Вариньон (1654 – 1722), который, будучи ярким представителем французской математической школы, сумел заложить основы аналитической статики и кинематики, обладающие высокой степенью универсальности в практических применениях. В своём трактате «Проект новой механики» (1687), который впоследствии был переиздан под названием «Новая механика или статика» (1725), автор впервые записывает уравнения равновесия для произвольной системы заданных сил, широко используя тригонометрические функции. Тем самым он отказался от традиционных процедур использования пропорций, идущих из Античности, и стал учитывать векторный характер действующих сил и моментов. В качестве иллюстративных примеров Вариньон рассматривал задачи о статическом равновесии простейших механизмов (рычага, клина, блоковых систем, винта и червячной передачи), что позволяет считать его основоположником аналитической теории механизмов. Им была сформулирована хорошо известная ныне «теорема Вариньона», которая в современной терминологии гласит: «Момент результирующего вектора системы сходящихся векторов относительно некоторой точки О равен геометрической сумме моментов составляющих векторов относительно её».

Несмотря на то, что проблема «векторизации сил» к XVII веку уже вполне созрела (правило параллелограмма сил широко использовалось в трудах Стевина, Роберваля, Ньютона и др.), именно Вариньон начал практически развивать и обобщать эту концепцию, хотя свою окончательную форму она приобрела лишь в XIX веке после построения векторного исчисления. Немалую роль в развитии статики и графостатики сыграл т.н. «верёвочный многоугольник» Вариньона, который давал наглядное представление об условиях равновесия механических тел под действием распределённых или сосредоточенных сил. Предложенные Вариньоном концепции аналитической статики были восприняты и высоко оценены его великими последователями – Эйлером, Даламбером и Лагранжем, – которые констатировали, что предложенные им принципы сложения сил стали основой почти всех работ по статике, появившихся с его времени.

Не менее важную роль в становлении аналитической механики сыграл и знаменитый «принцип возможных перемещений», зародившийся, как уже говорилось, в переписке И. Бернулли с Вариньоном в 1717 г. и нередко именуемый «принципом Вариньона». Нельзя, наконец, не сказать о том, что в своих работах по кинематике Вариньон первый стал использовать дифференциально-аналитическую запись выражений для скоростей и ускорений движущейся точки в проекциях на касательную и нормаль к её траектории. Впоследствии такой способ стали широко использовать Д. Бернулли и Л. Эйлер для записи дифференциальных уравнений движения точек в поле различных сил.

Оказавшись современником рождения ньютоновских «Начал» и лейбницевого математического анализа, Вариньон сумел объединить их для изучения свойств движения точки в поле центральной силы и на этом пути фактически установил теоремы об изменении количества движения точки и об изменении её кинетической энергии (точнее – живой силы по Лейбницу mV²).

Резюмируя сказанное можно заключить, что Вариньон сыграл важную роль в подъёме механики от уровня индивидуального искусства решения отдельных задач до уровня научной дисциплины, оснащённой эффективным и универсальным математическим аппаратом. Поэтому его подходы и соображения можно считать прологом появления и становления аналитической механики, созданной трудами Эйлера, Даламбера, Лагранжа.

Так как роль Эйлера в этом процессе подробно освещена в п. 14.4.3, перейдём к оценке и описанию вклада в механику его младшего современника Даламбера.

Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) был внебрачным сыном французской аристократки, которая, оберегая свою честь, подбросила грудного ребёнка к церкви св. Жана-Лерона, где он и был подобран дежурным полицейским, присвоившим ему имя этого святого. Найдёныш был усыновлён семьёй местного стекольщика Руссо, в которой Жан и прожил свыше 40 лет своей жизни. Отец, узнав о судьбе сына, навещал его и даже завещал ему приличное содержание (1200 франков в год). В возрасте 4-х лет маленький Жан был отдан приёмными родителями в пансион, где легко и усердно учился, поражая учителей своими способностями. В 13-летнем возрасте он поступил в коллеж Мазарини, где получил хорошее гуманитарное образование и принял фамилию «Даламбер». Там же он начал самостоятельно изучать математику и, зная древние языки, стал читать труды Архимеда, Птолемея и других античных авторов. После коллежа юноша по настоянию родственников закончил 2-годичную юридическую академию, получив в 1738 г. звание адвоката, однако адвокатская деятельность его не заинтересовала, и он решил окунуться в медицину.

Привыкнув со школьных лет заниматься самообразованием, Жан наряду с медициной стал изучать филологию и философию, причём настолько преуспел в этих занятиях, что в возрасте 23-х лет был избран во французскую Академию, став одним из «сорока бессмертных». Впоследствии завистники великого учёного острили, что Даламбер – «великий писатель среди геометров и великий геометр среди писателей». Но это было лишь банальным злословием, т.к. литературный талант Даламбера признавали многие его современники, среди которых был и великий философ Вольтер. Истинное же своё призвание молодой Даламбер нашёл в увлечении механикой, переживавшей в то время этап бурного роста благодаря усилиям Эйлера и братьев Бернулли. С энтузиазмом молодой учёный погрузился в поток новых проблем математики и механики и в 1739 – 1740 гг. он представил в Парижскую АН два мемуара – о движении твёрдых тел в жидкостях и об интегральном исчислении. В результате в 1741 он становится адъюнктом ПАН (без денежного содержания), в 1746 г. – ассоциированным членом ПАН, в 1754 г. – членом французской Академии (гуманитарной), в 1756 г. – сверхштатным пансионером ПАН ( с денежным содержанием) и, наконец, в 1765 г. – штатным пансионером, заняв место скончавшегося Клеро.

Бурная деятельность начинающего учёного увенчалась в 1743 г. выходом в свет знаменитого книги «Трактата о динамике» (он затем был переиздан в 1758 г. и 1796 г.), который вызвал огромный резонанс в научном мире, став знаковым событием в становлении теоретической и аналитической механики. Некоторые представления о его содержании и направленности даёт полное наименование: «Трактат по динамике, в котором законы равновесия и движения тел сведены к их наименьшему количеству и доказаны новым способом, и где даётся общий принцип для определения движений нескольких тел, взаимодействующих между собой некоторым образом». Центральным вопросом трактата стала формулировка и применение знаменитого «принципа Даламбера», который в современной интерпретации звучит следующим образом: «При любом движении материальной точки сумма всех действующих на ней сил F и её силы инерции равна нулю». Хотя само понятие «силы инерции» –mw сформировалось только в XIX веке, предложенный принцип оказался крайне своевременным и вызвал большой интерес у механиков и математиков. Надо при этом признать, что в неявном виде «принцип Даламбера» использовался ещё в 1740 году (т.е. за три года до выхода «Трактата» в свет) в некоторых работах Эйлера и других авторов. Однако этот факт никак не умаляет авторства Даламбера, т.к. идея его принципа к тому времени буквально «носилась в воздухе» и, как это уже неоднократно происходило в истории науки, могла почти одновременно и независимо прийти в голову того или иного учёного (как это происходило с решением кубического уравнения, с открытием закона всемирного тяготения, с изобретением телескопа и т. д. и т. п.).

Современную формулировку и запись принципу Даламбера

ΣF_k + (–mw) = 0 (15.2)

дал Лагранж, сопроводив их комментарием: «Хотя этот принцип и не даёт непосредственно уравнений, необходимых для решения проблем динамики, он показывает, каким образом они могут быть выведены из условий равновесия». Важное место в «Трактате» занимают рассуждения и соображения автора по поводу давно уже шедшего спора о мере движения точки массы m: считать ли таковой количество движения mV по Декарту или живую силу mV² по Лейбницу. Можно сказать, что Даламбер отчётливо разделил «сферы использования» этих мер и тем самым завершил затянувшийся спор и связанные с ним проблемы.

Через год после выхода «Трактата» Даламбер опубликовал следующую работу «Трактат о равновесии движения жидкости», посвященный проблемам движения жидкостей в трубах и движениям твёрдых тел в жидкой среде. Эта работа также вызвала большой интерес ученых, т.к. в ней автор сформулировал свой известный «парадокс Даламбера» (опять почти одновременно с Эйлером), гласящий, что твёрдое тело при равномерном движении в идеальной жидкости не испытывает сил сопротивления. При этом автор подчёркивает, что в реальной жидкости силы вязкости приводят к образованию вихрей, которые и порождают силу сопротивления. Позднее уже в 1753 г. Даламбер совместно с аббатом-профессором Ш. Боссю принял участие в натурных экспериментах по определению оптимальной формы корпуса судна, обеспечивающего минимальное сопротивление. Здесь он с успехом использовал результаты своих теоретических исследований и дал ряд практических рекомендаций для судостроителей.

Большое место в небесной механике занял его мемуар «Исследование о предварении равноденствий и нутации оси Земли» (1749), в котором он дал полное аналитическое решение давней задачи о предварении равноденствий, а также повторил и подтвердил ряд результатов аналогичной работы Клеро (которая, в конце концов, и стала «яблоком раздора» между двумя выдающимися учёными. Надо признать, что и в общении с другими коллегами и даже с некоторыми друзьями Даламбер нередко проявлял нетерпимость и явно завышенное самолюбие. Это отметил Эйлер, который в письме Лагранжу (1765) писал о нём: «этот высокий гений, как мне кажется, слишком склонен уничтожать всё то, что сделано не им самим», а также «… г-н Даламбер повсюду проявляет великое стремление сделать сомнительным всё то, что утверждали другие, но никогда не потерпит, чтобы такие же возражения были сделаны против его исследований». Аналогичные оценки характера Даламбера делали и другие его современники.

По-видимому, именно эти черты характера привели к тому, что в 1757 г. Даламбер сложил с себя обязанности редактора знаменитой французской «Энциклопедии», возмутившись той критикой, которая обрушилась на него со стороны церковных и аристократических кругов Франции и других европейских государств. Идея созданий подобной энциклопедии уже давно витала в воздухе Европы века Просвещения, пока в 1751 г. за её реализацию не взялись два великих французских просветителя – Дени Дидро и Жан Даламбер, – воодушевленных пожеланиями знаменитого Вольтера. Целью этой «Энциклопедии или толкового словаря наук, искусств и ремёсел» была демонстрация и иллюстрация тех взаимосвязей, которые уже явственно проявлялись между науками, ремёслами, зарождавшимся промышленным производством, искусствами, культурой, просвещением и т. д. С первого тома (вышедшего в 1751 г.) эта энциклопедия приобрела огромный успех, т.к. её авторами были самые крупные учёные, писатели, просветители и прочие деятели Франции. Особенный интерес читателей вызывали статьи Ж. Ж. Руссо (1712 – 1778) и М.Ф.Вольтера (1694 – 1778), которые ратовали за рост просвещения и преодоление религиозных предрассудков. Большой резонанс в обществе вызвал скандальный призыв Вольтера «Раздавить гадину», под которой он подразумевал католическую церковь, потерявшую всякую меру в своём мздоимстве, жестокости и враждебности к науке и просвещению. В статье «Государи» главный редактор «Энциклопедии» Дидро писал: «Опыт учит, что чем больше правители имеют власти, тем больше они злоупотребляют ею. Поэтому полезно ограничить власть государей». Ему же при принадлежит еще одно скептическое высказывание : « На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки».

Сумев наладить выпуск одного тома в год, энциклопедисты быстро довели тираж «Энциклопедии» до 4000 экземпляров, что было очень большой величиной для того времени и объяснялось широчайшим диапазоном и остротой изложения самых животрепещущих проблем века Просвещения, среди которых чуть ли не центральное место занимали проблемы науки.

Даламбер, бывший близким другом Дидро (с которым он, тем не менее, окончательно рассорился в 1757 г.) был его заместителем и редактировал физико-математический раздел «Энциклопедии». Им был написан ряд ярких статей: «Алгебра», «Геометрия», «Динамика», «Дифференциалы», а также большая вступительная статья «Очерк происхождения и развития наук». Позднее в 1759 г. он продолжил свои публицистические опыты, издав трактат «Элементы философии», вызвавший серьёзное недовольство правящих и клерикальных элит, однако с интересом воспринятый интелектуальной общественностью. Результатом роста «философской» популярности Даламбера стало то, что после смерти в 1778 г. Вольтера его стали считать первым философом Франции. Что касается его детища – «Энциклопедии», – то её издание продолжалось и после его ухода из числа авторов, а завершилось в 1772 г выходом 35-го тома (из которых он соучаствовал в первых 20-ти).

Кроме серьёзного вклада в механику Даламбер немалое внимание уделял и математическим исследованиям – теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, теории пределов (в частности, предложил «признак Даламбера» сходимости числовых рядов), а также теории аналитических функций комплексного переменного (ФКП). Согласно его исследованиям (как и более ранним исследованиям Эйлера) известные условия аналитичности функции u + iw

(15.3)

именуемые в литературе условиями Коши-Римана, правильнее было бы называть условиями Даламбера-Эйлера. В 1747 г. он предложил метод решения волнового уравнения (уравнения колебаний струны) в виде бегущей волны, что позволяет считать его, наряду с Эйлером и Д. Бернулли, одним из основоположников математической физики. Диапазон его интересов был очень широк и разнообразен, о чём свидетельствуют многие его научные достижения. Сам он о своих научных интересах так писал Лагранжу: «У меня не в характере заниматься продолжительно одним и тем же предметом. Я оставляю его и принимаюсь за него снова по воле моей фантазии. И такой способ занятий нимало не вредит моим успехам». Его личность и его достижения в разных сферах наук подтверждают известное утверждение: «Талантливый человек талантлив во всём».

Яркие и оригинальные работы Даламбера по ключевым вопросам механики и математики того времени быстро выдвинули его в число ведущих учёных Европы, получивших признание не только среди коллег, но и «среди сильных мира сего» – королей, меценатов и президентов. Поэтому он неоднократно приглашался на различные высокие должности в научной иерархии, от которых неизменно отказывался (хотя и был избран членом всех европейских Академий наук). Что касается личной жизни, то она у него также не сложилась – на протяжении 17 лет он безответно любил одну женщину – госпожу Леспинас. Когда же она умерла, дальнейшая жизнь и даже научная деятельность потеряли для него смысл. Последние годы он посвятил истории науки и написал трактат «О свободе музыки», оставаясь одиноким и больным человеком. В XX веке именем Даламбера был назван горный хребет на видимой стороне Луны и кратер на её обратной стороне.