14.4.4. Математик от Бога

Несмотря на ту огромную роль, которую Эйлер сыграл в развитии механики, в биографической литературе принято считать его и великим математиком, получившим выдающиеся результаты в самых разных ветвях этой древнейшей науки. Наиболее важной ветвью в XVIII веке стал только что зародившийся в трудах Г.Лейбница и И.Ньютона математический анализ, в разработке которого активно участвовали учителя и коллеги Эйлера – братья Бернулли, Д.Бернулли, Лопиталь и др. Естественно, что Эйлер с юных лет погрузился в этот мир новых идей, понятий, задач, методов, с увлечением находя в нем массу неожиданных взаимосвязей, подходов и объектов исследования. Результаты своих поисков и открытий он изложил в серии фундаментальных трактатов по анализу, начинающуюся с 2-х томного руководства «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В нем автор конкретизировал понятие функции, дал их классификацию, разработал аппарат их исследования посредством степенных рядов и произведений. Здесь же он открывает две замечательные функции, носящие теперь его имя – бета-функцию Эйлера и гамма-функцию, которые прочно вошли в арсенал современной математики и содержатся во всех справочниках. Большое внимание он уделил упорядочиванию тригонометрии, доведя ее фактически до современного состояния. Дальнейшему развитию математического анализа посвящены его трактаты «Дифференциальное исчисление» (1755, в 2-х томах) и «Интегральное исчисление» (1768 – 1774, в 3-х томах и дополнительный 4-й том в 1794г.). В них Эйлер подытожил достигнутые к концу XVIII века результаты по теории элементарных и специальных функций, по решению дифференциальных уравнений, заложил основы теории аналитических функций и разработал математический аппарат вариационного исчисления. Для пояснения и иллюстрации теоретических положений Эйлер приводит наглядные решения множества задач и примеров, а также вводит много новых терминов (мантисса логарифма, основание) и обозначений (π, ie). Здесь же Эйлер получает свою великую формулу

(14.15)

установившую четкую связь между тригонометрическими и показательными функциями, а также (при z=π) между четырьмя особыми числами

(14.16)

Формулу Эйлера (14.15) Лагранж назвал «одним из наиболее прекрасных аналитических открытий, сделанных в настоящем веке». Справедливости ради нужно сказать, что в несколько другой форме соотношение (14.15) было получено раньше Эйлера учеником Ньютона Р. Коутсом (в 1714 г.). Эйлер же получил его в 1740 г., введя попутно и обозначения sin z и cos z . Итогом его исследований по теории комплексных чисел ( наименование которым первоначально дал Л. Карно, а окончательно оно было канонизировано и дополнено терминами «модуль» и «аргумент» Коши и Гауссом в 1821 г и 1828 г.) стала знаменитая статья « Исследование о мнимых корнях уравнений» (1751). О неоднозначности оперирования с комплексными числами в веке говорит ошибка Эйлера в одной из его ранних работ, где он написал позднее он установил, что тождество справедливо только для a > 0, b > 0. Фундаментальные результаты и исследования принадлежат Эйлеру в теории чисел, с которой он познакомился сразу по прибытии в Петербург в 1727 г. благодаря общению с одним из первых российских академиков Хр.Гольдбахом. Молодой адъюнкт проштудировал труды П.Ферма и Диофанта, а также узнал о собственных идеях Гольдбаха в области теоретической арифметики. Из этих вещей родилась знаменитая "задача Эйлера" —доказать, что любое четное число есть сумма двух простых чисел. До сих пор такого доказательства нет. Красота и трудность возникающих в теории чисел арифметических проблем захватили воображение молодого ученого, для которого увлечение ими стало спутником всей его жизни, и которым он посвятил около 150 своих научных работ. Красной нитью этих работ стала знаменитая проблема о распределении простых чисел в натуральном ряду. Эйлер сумел найти решение целого ряда задач Ферма, исследовал числа Мерсенна, нашел множество пар «дружественных» чисел (первая пара которых была обнаружена еще пифагорейцами), построил свою знаменитую оценку для количества простых чисел, не превышающих натурального n. Именно он ввел в рассмотрение знаменитую дзета-функцию Римана – Y(s), – положившую начало будущей аналитической теории чисел. Результатом эйлеровых исследований стало превращение теории чисел в полноправную научную математическую дисциплину со своими задачами, методами и нерешенными проблемами типа Великой теоремы Ферма (которая была доказана только через 350 лет после ее формулирования). В этой теореме Эйлер сделал первый шаг, доказав ее для показателей n=3 и n=4, остальные же теоремы Ферма он доказал полностью, а одну из них опроверг, установив ее ошибочность.

Немалое место в научном наследии ученого занимают его геометрические исследования, из которых наибольшую известность получила его формула, связывающая число вершин B, граней Г и ребер Р произвольного многогранника: В + Г = Р + 2. Этот результат вместе с поставленной и решенной им проблемой о «кенигсбергских мостах» положили начало новой ветви геометрии – комбинаторной топологии и теории графов. Нельзя не упомянуть и о блестящих работах Эйлера по теории поверхностей, которые, начавшись от конкретных задач теории картографических проекций, завершились глубокими исследованиями дифференциальных свойств поверхностей и линий на них, образовавшими фундамент будущей дифференциальной геометрии. Даже в таком казалось бы досконально изученном объекте, как обыкновенный треугольник, он сумел обнаружить 9 замечательных точек, лежащих на «окружности Эйлера», центр которой лежит на «прямой Эйлера» посредине между центром описанной окружности и ее ортоцентром.

Большое внимание Эйлер уделял в своем творчестве бесконечным представлениям чисел и функций – рядам, произведениям и непрерывным дробям. С помощью последних он установил множество замечательных аппроксимаций для иррациональных и трансцендентных чисел, пробудив интерес математиков к таким конструкциям. Столь же нестандартны были и многие его исследования по теории вероятностей, связанные с проблемами страхового дела, демографии, с лотереями и азартными играми. Наконец, важное место в работах Эйлера занимают дифференциальные уравнения и прежде всего – линейные. Для таких уравнений с постоянными коэффициентами он в 1739 г. предложил общий метод их решения. Позднее он нашел и метод решения уравнения «типа Эйлера» с переменными коэффициентами

(14.17)

Важные результаты были получены Эйлером для уравнений 1-ого порядка, где он не только доказал теорему о существовании интегрирующего множителя, но и установил факт его неединственности. Многие результаты Эйлера были впоследствии переоткрыты другими авторами, получив их имена. Например знаменитое уравнение Лапласа Δφ=0 впервые получили Эйлер и Даламбер (1761 г.), после чего оно было изучено Лагранжем (1777 г.), а окончательно канонизировано Лапласом в 1782 г., получив его имя. И таких примеров немало!

Помимо огромного научного наследия, исчисляемого совокупностью 886 статей, мемуаров и больших трактатов (которых более 20!) – причем работ высшего научного уровня, – Эйлер оставил и одно научно-популярное сочинение – «Письма о разных физических и философских материях, писанные к некоторой немецкой принцессе»в 3-х томах (1768 – 1774). Это сочинение стало результатом его учебных занятий с молодой и любознательной племянницей Фридриха II, которой он по просьбе короля на протяжении 1760 – 1761 гг. начал давать уроки по наиболее актуальным вопросам философии и науки, волновавшим европейское общество в эпоху Просвещения.

Со временем эти занятия приняли эпистолярный характер в форме переписки великого ученого с представительницей молодого поколения, желающего понять новейшие научные и философские концепции и сформировать новые взгляды на окружающий мир. В конце концов, из этих 200 писем образовалась своеобразная популярная энциклопедия, напечатанная первоначально на французском языке, а затем переведенная на 6 европейских языков. Только на русском языке она была издана в течение XVIII века 4 раза, что говорит о ее высочайшей популярности. Однако коллеги–математики и физики – приняли ее неоднозначно, критикуя автора за некоторые его философские промахи. Тем не менее и сегодняшний читатель может найти в ней множество глубоких мыслей, интересных сопоставлений и примеров, а главное – почувствовать истинный аромат эпохи Просвещения.

Содержание «Писем» чрезвычайно обширно и разнообразно и охватывает такие темы, как суть и следствия ньютонова закона тяготения, причины морских приливов, законы распространения звука и света, физика электричества и магнетизма, монадология и другие философские системы, идеализм, материализм и эгоизм, истинное предназначение человека, его физические и нравственные страдания, добро и зло в мире и т.д. и т.п. Разумеется эти и подобные им вопросы освещались и в других аналогичных изданиях и другими авторами, однако эйлеровские «Письма» радикально отличались тем, что их автором был один из глубочайших аналитиков того времени, активно участвовавший в построении новой теории мира и нового мышления. Этим и объясняется тот факт, что «Письма» на многие годы стали настольной книгой интеллектуалов Европы.

Несмотря на столь плодотворное общение с принцессой Ангальт – Дессауской, отношения Эйлера с ее дядей, Фридрихом II складывали далеко не лучшим образом и со временем, особенно с началом 60-х годов становились всё хуже. К счастью в это же время стало заметно улучшаться обстановка в далекой России, где после воцарения в 1762 г. Екатерины II (получившей позднее эпитет «Великой») начал изменяться вектор политического режима в сторону «просвещенного абсолютизма». Умная и прозорливая императрица прекрасно чувствовала дух «эпохи Просвещения» и нарастающую роль науки в европейском мире. Поэтому неудивительно, что одним из первых ее деяний было возрождение роли и места ИПАН, на содержание которой она стала ассигновывать 60 тыс. рублей в год (тогда как Фридрих II отпускал на содержание Берлинской АН всего 13 тыс. рублей). При этом она прекрасно понимала, что настоящее возрождение ИПАН возможно только при наличии в ней академиков ранга Эйлера.

Надо напомнить, что Эйлер во время своего 25-летнего берлинского периода сохранял и развивал научные контакты с ИПАН, печатая в «Комментариях» почти половину своих мемуаров. Поэтому еще императрица Елизавета I возобновила выплату ему как почетному академику ИПАН пенсии в размере 200 руб./год, а когда в результате 7-летней войны Фридриха II наступавшие российские войска разрушили поместье Эйлера в Шарлоттенбурге, их командующий фельдмаршал Салтыков полностью возместил ученому нанесенный ущерб, а императрица Елизавета от себя добавила ему значительную сумму – 4000 рублей.

Еще в 1746 и 1750 гг. Эйлер получал через российского посла приглашения вернуться в Россию, однако вежливо отказывался от них. Когда же конфликт ученого с Фридрихом II достиг критического уровня, Эйлер решился на возвращение при выполнении условий: оклад в 3000 руб./год, место академика с окладом 100 руб. для старшего сына Иоганна-Альбрехта, приличные должности для остальных двух сыновей и назначение пенсии его жене в 1000руб./год в случае смерти его самого. Екатерина II великодушно приняла эти условия, предоставив Эйлеру должность конференц-секретаря ИПАН и 59-летний ученый начал собираться в дорогу. Однако совершенно неожиданно Фридрих II стал ставить ему всевозможные препоны. После ряда препирательств Эйлер заявил королю, что он, как гражданин Швейцарии, имеет полное право покинуть Пруссию, с чем король вынужден был согласиться. После этого Эйлер двинулся в дальний путь и в июле 1766 г. прибыл со своей большой семьей (18 человек) в Петербург, где его уже ожидала большая казенная квартира. Позднее императрица подарила ученому 8 тыс. рублей для покупки собственного дома на Васильевском острове и обстановки для него. Однако Фридрих II не мог удержаться от мелкой пакости великому ученому – он не отпустил с ним младшего сына, служившего тогда в прусской армии, под тем предлогом, что он родился в Пруссии и является ее гражданином. И тогда на помощь академику пришла великая императрица – она направила королю жесткое послание и тот, «поджав хвост», отпустил молодого офицера. Через некоторое время тот приехал в Петербург, где занял должность начальника оружейного завода в Сестрорецке (близ Петербурга). Место уехавшего Эйлера в Берлинской АН по его рекомендации занял 23-летний французский математик Лагранж, вскоре ставший президентом БАН на долгие 20 лет. Сам Эйлер, прочитавший его работу «О способах нахождения наибольших или наименьших значений величин интегралов» (1759) впоследствии написал: «Вступивший в апогей своей славы Лагранж является весьма достойным моим преемником (в качестве президента БАН) и самым знаменитым геометром века». Слава Эйрелера в этот период (50-е — 60-е годы) была уже настолько велика и безоговорочна, что Парижская АН вопреки своему уставу избрала его своим членом сверхштатной нормы приняв специальное постановление и добившись согласия своего правительства.

Как и в далекой юности, оказавшись в Петербурге маститый ученый с головой погрузился в работу, выпустив уже подготовленный к печати огромный трактат «Интегральное исчисление» объемом около 1000 страниц. Однако, как и в молодые годы, перенапряжение не прошло даром – единственный глаз ученого воспалился и вскоре Эйлер полностью потерял зрение. Мужественно перенеся этот удар судьбы, ученый не прекратил научной работы и стал надиктовывать свои математические тексты. Таким образом, он надиктовал учебник «Элементы алгебры», который вышел в свет в 1768 – 1769 гг. в двух томах под названием «Универсальная арифметика» и впоследствии выдержал еще 3 десятка изданий на 6 европейских языках. Следом за этим Эйлер надиктовал и издал 3-томный трактат «Диоптрика» (1769, 1770, 1771), где изложил математические основы геометрической оптики и разработал схемы расчета оптических приборов – микроскопов, телескопов и пр. В этом трактате он широко и глубоко развивал волнующую теорию света и фактически стал единственным ученым XVIII века, осмелившимся открыто выступить против корпускулярной теории Ньютона. Но несчастья имеют печальную закономерность – они нередко следуют одно за другим. И действительно в 1771 г. в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий и в том числе дом Эйлера со всем имуществом. Сам 64-летний ученый с трудом спасся от огня и, к счастью, не сгорели залежи его рукописей, кроме последней части «Новой теории Луны», над которой он работал в предшествующие дни. Однако с помощью своего старшего сына и благодаря феноменальной памяти ученого ее удалось полностью восстановить. Что касается сгоревшего дома, то здесь опять в полной мере проявилось благородство и великодушие Екатерины II, которая финансировала строительство нового дома и его полное благоустройство. Несмотря на то, что к слепоте вскоре присоединилась и глухота, стареющий и слабеющий академик за полтора десятка оставшихся ему лет жизни сумел продиктовать более 400 статей и 10 трактатов. В 1773 г. ученого постигает новое несчастье – умирает его жена и он остается один перед своим огромным в 30 человек семейством. Чтобы сохранить в доме порядок, установившийся за 40 лет его семейной жизни, Эйлер через 3 года женился на сводной сестре своей жены Саломее Гзелль, хорошо знавшей его домочадцев.

Последние 10 лет своей сверхактивной жизни знаменитый академик с помощью сыновей, учеников и помощников (это И.-А.Эйлер, А.И.Лексель, В.Л.Крафт, С.К.Котельников, М.Е.Головин) работал с фантастической производительностью, словно зачитывая свои гениальные произведения и производя в уме сложнейшие вычисления. Так известен факт, что во время одной бессонной ночи Эйлер вычислил в уме шестые степени всех натуральных чисел от 1 до 100 и потом напамять воспроизвел их через несколько дней. Также известно, что однажды он вычислил 20 знаков числа π всего за 1 час! При этом он на протяжении всей своей жизни оставался очень скромным и открытым человеком, никогда не показывая своего гигантского интеллектуального превосходства над простыми людьми, учениками и коллегами. Так уже на склоне лет он откровенно говорил, что за последние 40 лет своей творческой жизни он ошибался 80 раз!

Правой рукой слепого ученого в его последние годы стал уроженец Базеля Николай Фусс (1755–1826), который за 10 последних лет жизни гения, став его непременным секретарем и помощником, сумел записать, оформить и издать 355 его научных работ. Впоследствии, после смерти шефа он стал профессором и членом ИПАН, а в 1800 г., после смерти И.-А.Эйлера стал ученым секретарем ИПАН. Будучи женат на внучке Л.Эйлера Н.Фусс свою жизнь и деятельность посвятил сохранению и продолжению традиций своего шефа, а его сын, российский подданный Павел Николаевич Фусс (1798–1853) – правнук Л.Эйлера – фактически стал первым биографом и собирателем трудов и переписки великого прадеда.

Умер великий ученый столь же спокойно, как жил и работал. В сентябре 1783 г. он начал ощущать головные боли, головокружения и слабость. Тем не менее, он продолжал работать и вычислять, пока 18 сентября во время послеобеденном беседы с академиком А.И.Лекселем о недавно открытой новой планете Уран, он вдруг почувствовал себя плохо, и, успев произнести «Я умираю», потерял сознание. Через несколько часов, так и не придя в сознание, он скончался от инсульта. Его похоронили на Смоленском кладбище и на надгробии сделали надпись: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера». Через 50 лет его могила оказалась утерянной и лишь случайно была вновь обнаружена. Позднее останки ученого были перенесены в некрополь Александро-Невской лавры, где покоятся и сегодня.

Оценить роль, место и наследие гениального ученого в истории с помощью обычного перечисления его основных трудов и достижений вряд ли возможно. Не зря Даламбер в одном из своих писем Лагранжу назвал Эйлера «этот диавол» подразумевая, что сделанное Эйлером превышает силы человеческие. Невероятный объем выполненных им научных работ при высочайшем уровне их содержания ставит его на недосягаемую высоту среди большинства его коллег, учеников и последователей. Эту недосягаемость можно подтвердить даже количественно, если оценивать результативность научной деятельности Л.Эйлера неким интегральным критерием типа произведения количества на качество, если показателем качества считать, например, индекс цитируемости его работ и результатов. Сами же результаты и идеи великого ученого могут быть оценены меткой фразой одного индийского мудреца : "Он-нить, пронизывающая все эти мысли, каждая из которых- жемчужина".

Еще при жизни Эйлера как Петербургская, так и Берлинская Академии не успевали печатать его мемуары, что дало ему повод однажды в шутку заметить, что его статьи будут печататься в академических журналах еще 20 лет после его кончины. Его прогноз оказался ошибочным – сочинения Эйлера печатались в трудах ИПАН до 1860 г., т.е. почти 80 лет после его смерти! И даже после этого отдельные «залежи» эйлеровых рукописей обнаруживались вплоть до начала XIX века! В 1909 г. Швейцарское общество естественных наук начало издавать полное собрание сочинений великого русско-швейцарского ученого, объемом в 72 тома по 600 страниц каждый. Из них 30 томов были посвящены математике, 31 – механике и астрономии, 11 – физике и пр. Обширной научной переписке Эйлера было отведено 8 дополнительных томов. Число различных наименований научных работ гения составило 850, а последний том их полного издания вышел в свет только в 1975 г. А чтобы представить себе общий объем рукописного наследия Эйлера, достаточно указать такую цифру — чтобы переписать его труды со средней скоростью письма при 8-ми часовом рабочем дне и ежедневной работе потребовалось бы 50 лет!

Характерной особенностью работ и исследований Эйлера, отличавшей их от работ многих других математиков, была их четкая взаимосвязь с множеством прикладных проблем, с решением конкретных «земных» и «небесных» задач, с построением новых математических моделей. В этом отношении он полностью соответствовал известному афоризму американского математика века М. Клайна : « Математики могут воспарить в облаках абстрактного мышления подобно птицам, но за пищей долины возвращения на землю».

Если отвлечься от численных показателей, характеризующих «феномен Эйлера» и попытаться определить его словесным образом, то Эйлера можно назвать изобретателем, открывателем и популяризатором математических технологий всей современной науки, ставших катализатором зарождавшейся в Европе научной революции. Аналогичную роль сыграл он и в становлении российской науки и особенно – российской математики и механики, которые, хоть и с некоторым запозданием, начали постепенное сближение с европейским уровнем. Оставшиеся в Петербурге после Эйлера его ученики, коллеги и даже потомки, конечно, не могли конкурировать со своим великим наставником, однако они «подготовили почву», на которой со временем зародились ростки, из которых уже начали вырастать математики европейского уровня, а позднее сформировалась знаменитая петербургская, а затем и московская математические школы. Так Эйлер воплотил в жизнь замыслы Петра I о приобщении России к европейской культуре.

Имя Эйлера занимает в мировой науке место рядом с именами Архимеда и Ньютона, его именем назван кратер на видимой стороне Луны. К великому сожалению, это имя никак не увековечено в его фактически родном Петербурге, в котором он прожил большую часть своей творческой жизни и написал большую часть своих замечательных работ. Имеется лишь мемориальная доска на доме №15 по набережной Лейтенанта Шмидта, где раньше находился собственный дом Л.Эйлера, установленная в 1957 г.

Резюме: Университет, дружба с семейством Бернулли, приезд в Петербург, членство в ИПАН, первые работы, трактат «Механика», его роль в науке. Берлинский период жизни, «Морская наука», «Теория твердых тел», вариационное исчисление, сотрудничество с Мопертюи, «Эйлеровы эластики», уравнения гидродинамики, лунные исследования, общение с Клеро. Трактаты по дифференциальному и интегральному исчислению, формулы Эйлера, задачи теории чисел, работы по дифференциальным уравнениям. «Письма к принцессе», возвращение в Петербург, последние годы и последние работы. Ученики и потомки Эйлера.