14.4.3. Разработка математических моделей механики

После выхода в свет «Механики» 30-летний Эйлер становится всемирно известным маститым ученым и вместе с тем – самым продуктивным и высокооплачиваемым академиком ИПАН. Однако произвол и деспотизм «бироновщины» на уровне императорской власти и нарастающие козни Шумахера в ИПАН вызвали беспокойство у ученого, который, несмотря на его неплохие взаимоотношения с Шумахером начал задумываться над переездом из России в Европу. Последовавшая в 1740 г. смерть императрицы Анны Иоанновны и начавшаяся борьба за престол укрепили Эйлера в этом намерении, и он решил принять приглашение нового прусского короля Фридриха II (Великого) (1712 – 1786 гг.) о переезде в Берлин в качестве члена вновь создаваемой Берлинской Академии Наук. Предшествовавшее ей Бранденбургское научное Общество, организованное еще Лейбницем в 1700 г., едва функционировало, так что амбициозный и неплохо просвещенный король решил, следуя примеру Лондона, Парижа и Санкт-Петербурга, воссоздать на новом уровне это Общество в форме Берлинской Академии Наук (БАН). С этой целью он, опять же следуя примеру Петра I, разослал приглашения самым именитым философам и ученым Европы: Вольтеру (он отказался), отцу и сыновьям Бернулли (которые тоже отказались), а также Эйлеру и Мопертюи, которые после некоторого раздумья согласились. К этому времени П. Мопертюи (1698 – 1759 гг.) был уже известным французским математиком, прославившимся своим участием в Лапландской геодезической экспедиции, измерения которой подтвердили гипотезу Ньютона о сплющенности фигуры Земли у полюсов. Еще большую известность принесло ему открытие в 1744 г. одного из основных принципов механики – принципа наименьшего действия, – в обосновании которого ведущую роль сыграли идеи и формализации Эйлера.

Летом 1741 г. Эйлер с женой, двумя сыновьями и двумя дочерьми прибыл в Берлин, где с головой погрузился в решение организационных и бытовых проблем устройства жизни и работы в новых условиях. Сам король в это время активно участвовал в военных походах (сначала силезские войны, а затем знаменитая 7-летняя война, позволившие ему почти удвоить территорию Пруссии) и смог выбрать время для открытия БАН только 24 января 1744 г. – в день своего рождения. Новая Академия по уставу состояла из 4-х отделений: физического, математического, литературного (в котором состоял и сам король) и философского. Президентом БАН был назначен Мопертюи, а Эйлер стал директором математического отделения, замещая президента во время его длительных отлучек и став фактическим президентом после смерти Мопертюи в 1759г.

Материальное обеспечение Эйлера было вполне достаточным: помимо собственного дома в Берлине у него со временем появилось и поместье в Шарлоттенбурге. Кроме оклада за членство в БАН (который был вдвое меньше, чем у Мопертюи) он получал пенсию 200 р./год от ИПАН, почетным членом которой он оставался на протяжении берлинского периода своей жизни.

Сразу по приезде в Берлин Эйлеру пришлось окунуться в светскую жизнь, и как-то на одном из приемов в королевском дворце мать короля спросила ученого, почему он столь неразговорчив. В ответ он сказал: «Я только что приехал из страны, где тех, кто говорит – вешают». Тем не менее, он поддерживал очень тесные связи с Петербургом, печатал в трудах ИПАН многие свои работы (за 25-летний берлинский период он опубликовал в «Комментариях ИПАН» 109 своих статей, а в прусских – 197), рецензировал и редактировал математические статьи в российских журналах, приобретал для ИПАН книги и лабораторное оборудование. В его берлинском доме годами проживали и консультировались у него некоторые из русских студентов по направлению от ИПАН, причем часть из них впоследствии стали академиками ИПАН (С. Котельников, С. Румовский). Заслуживает упоминания и переписка Эйлера с первым русским академиком М.В. Ломоносовым, оказавшая последнему большую поддержку в его научных и служебных делах.

Еще будучи в Петербурге, Эйлер по заданию морского ведомства ИПАН занялся в 1736 г. вопросами равновесия и устойчивости судна на воде. В процессе исследований он заинтересовался вопросами кинематики и динамики твердого тела, которые в дальнейшем положили начало новому разделу механики – теории движения твердых тел. Итогом этих исследований стал двухтомный трактат «Морская наука или трактат о постройке кораблей и управлении ими», вышедший в Петербурге в 1749 г. и ставший первым курсом по теории корабля. В нем впервые вводится определение центра масс тела (отличное от определения центра тяжести), понятие о его моментах инерции (позднее в 1755 г. венгерский инженер А.Сегнер (1704 – 1777 гг.) – изобретатель известного «сегнерова колеса» – ввел в рассмотрение «естественные» (главные) оси инерции тела), а также разложил произвольное движение тела на движение центра масс и вращение вокруг него. Также здесь впервые затрагивается задача о малых колебаниях твердого тела. Наряду с построением теоретических основ механики плавающего тела Эйлер рассмотрел и ряд конкретных задач, доведя их до практических рекомендаций. Так сопоставляя энергетические затраты, необходимые для движения судна (или лодки) усилиями гребцов или посредством гребных колес, он установил, что во втором случае достаточно использовать вдвое меньшее число моряков.

Этот трактат вызвал большой интерес у кораблестроителей разных стран, однако в силу новизны многих понятий и методов оказался труден для понимания. Поэтому автор подготовил упрощенный вариант этой книги, который был издан в 1773 г. на французском, а в 1778 г. – на русском языках под названием «Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации». Этот вариант оказался очень востребован и вскоре был переведен на английский и итальянский языки.

Здесь уместно отметить характерную особенность эйлерова подхода ко многим интересовавшим его сложным задачам – сделав первый шаг в решении такой задачи и даже опубликовав его, он не переставал в дальнейшем размышлять над ней, отыскивая ее новые стороны и изобретая новые подходы к развитию сделанного анализа. Ярким примером такого «кумулятивного» исследования стала цепочка его монографий по механике. Первым ее звеном стала его знаменитая «Механика», вторым – «Морская наука», а заключительным – его великая книга, заложившая фундамент новой ветви аналитической механики – «Теория движения твердых или жестких тел» (1765 г.). В ней он вводит и широко использует знаменитые "эйлеровы углы" ψ, θ, φ – углы прецессии, нутации и собственного вращения, а также получает знаменитую формулу для скорости v произвольной точки вращающегося тела

v = ω r, (14.9)

где r – радиус-вектор точки, а ω – вектор угловой скорости тела (т.к. векторных записей тогда еще не существовало, то вместо (14.9) использовались три скалярных соотношения). Используя связанные с телом подвижные координатные оси 1, 2, 3 (впервые появившиеся в его «Морской науке»), Эйлер получает свои знаменитые уравнения, которые в современной записи имеют вид

(14.10)

где A_i – отвечающий i – ой главной оси момент инерции тела, ω_i и m_i – проекции на i-ю ось вектора угловой скорости тела и вектора внешнего момента сил. Уравнения (14.10) это первый пример записи уравнений динамики во вращающихся координатных осях. Используя эти уравнения, Эйлер поставил и решил задачу о вращении по инерции свободного твердого тела при m_i = 0 («случай Эйлера»), ставшую хрестоматийным примером во всех серьезных курсах механики на протяжении последних 250 лет. Развитием этой проблемы – проблемы движения тяжелого твердого тела – стали эпохальные исследования Лагранжа, а в XIX в. – С.В. Ковалевской, а также бесчисленное количество частных задач, изучаемых вплоть до настоящего времени. Можно поэтому с полным правом считать Л. Эйлера основателем новой научной дисциплины – динамики твердого тела – подобно тому, как Галилея и Ньютона считать основателями динамики материальной точки.

Помимо этого фундаментального достижения Эйлер активно участвовал в разработке другой ветви механики – теории вариационных принципов. Идея этих принципов зародилась в оптических исследованиях П. Ферма, который постулировал принцип наименьшего времени («принцип Ферма», см.п. 11.4.2). Затем эта идея проявилась в знаменитой задаче И. Бернулли о брахистохроне (п. 14.3.2), но как общий принцип – принцип минимизации величины mvs, (где v – скорость точки массы m, а s – путь, пройденный ею в свободном движении), названной «действием», – она была высказана П. Мопертюи, придавшим ей некий универсальный теологический смысл. Надо сказать, что ко времени появления первых работ Мопертюи на эту тему (1744 – 1746 гг.) сама идея об экстремальных свойствах механических движений и равновесий уже будоражила умы, вызывая интерес у ученых, философов и теологов. Естественно, что и Эйлер не мог пройти мимо нее, о чем свидетельствует его 322-страничный трактат «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле» (1744 г.). В нем суммированы исследования и решения 60 разнообразных задач, полученные за предшествующие 15 лет и положившие начало новой ветви математики и механики – вариационному исчислению. В этом трактате – первом в истории трактате по вариационному исчислению – Эйлер дал собственное определение «действия» в виде интеграла , где T – кинетическая энергия, пригодное для описания динамического поведения механической системы. В частности, он показал, что если интеграл действия имеет вид и требуется определить кривую y=y(x) на интервале a≤x≤b доставляющую ему экстремум, то она явится решением следующего дифференциального уравнения

, (14.11)

которое в настоящее время именуется уравнением Эйлера-Лагранжа. Несмотря на явное превосходство определений и методов Эйлера над формализмом Мопертюи, великий ученый всегда признавал приоритет своего коллеги в открытии принципа наименьшего действия. В разгоревшихся в 40-е – 50-е годы XVIII в. приоритетных спорах он всегда вставал на его сторону, хотя противоположную сторону представляли такие фигуры, как Вольтер, Даламбер, Кёниг и др. Что касается самого Мопертюи, то он уже незадолго до кончины написал: «Этот великий геометр [Л. Эйлер] не только обосновал принцип более основательно, чем это сделал я, но его взор, более объемлющий и более проникновенный, чем мой, привел его к открытию следствий, которых я не извлек».

В приложении к трактату «Метод нахождения …» Эйлер, пользуясь понятием Я.Бернулли о «потенциальной силе» решает целую серию задач о формах равновесия упругой линии посредством вариационного уравнения (14.11). Точные решения этих задач он разделил на 9 разновидностей, которые вошли в теорию изгиба стержней как «эластики Эйлера». Позднее он неоднократно возвращался к этим задачам, построив классические математические модели статики и динамики слабоизогнутой балки Бернулли-Эйлера:

(14.12)

где M – изгибающий момент C – характеристика сечения, а q – распределенная поперечная нагрузка. Помимо поперечного изгиба, Эйлер исследовал ряд задач о продольном изгибе балки длиной , получив классическое выражение для критической «эйлеровой нагрузки» (в работе " О силе колоны " от 1757г.)Практическое применение в инженерном деле эта формула нашла только через 100 лет, пройдя через суровую проверку у теоретиков и экспериментаторов и став, в конце концов, одним из краеугольных камней сопротивления материалов и строительной механики.

Нельзя не отметить участия Эйлера в разработке теории малых колебаний струн и пластинок, основы которой были заложены им и его друзьями-соперниками Д. Бернулли и Даламбером (в 1747 – 1753 гг.). Именно отсюда ведет свое начало теория интегрирования уравнений в частных производных и метод поиска их решений в виде тригонометрических рядов.

Одной из главнейших проблем механики и математики XVIII века стал огромный круг теоретических исследований и прогнозов движений небесных тел на основе открытий и принципов ньютоновых «Начал». Сам Ньютон после их написания фактически отошел от проблем небесной механики, зато их разработкой занялись самые именитые астрономы и математики Европы – Клеро, Даламбер, Лагранж, Лаплас и многие другие. Новые задачи требовали новых математических методов в алгебре, тригонометрии, аналитической механике, вычислительных процедурах и в теории аппроксимации. Естественно, что и Эйлер, всегда живо интересовавшийся новыми проблемами механики, физики и математики, не мог остаться в стороне от бурно развивавшейся небесной механики. Конкретным поводом для написания его «Теории движения Луны, выявляющей все ее неравенства» (1753 г.) послужила предшествовавшая ей работа французского ученого Клеро «Теория Луны, выведенная из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний» (1751 г.). Эйлер высоко оценил работу Клеро, и по его рекомендации она была удостоена премии ИПАН, хотя на предварительном этапе Эйлер подвергал сомнению некоторые результаты Клеро и оба они еще не были твердо уверены в корректности ньютонового закона тяготения.

Убедившись с помощью последней работы Клеро в абсолютной корректности закона, Эйлер с энтузиазмом продолжил исследования Клеро и в 1772 г. издал свою «Новую теорию движения Луны», в которой добился высочайшей точности расчета лунных эфемерид благодаря учету несферичности фигуры Земли, притяжения Солнца и других нелинейных факторов. Главным же результатом «лунных» исследований Клеро и Эйлера стал их вывод об абсолютной справедливости ньютонового закона тяготения. Этот вывод воодушевил европейских математиков на штурм великого множества проблем и задач новой небесной механики, обеспечив ее феноменальный рост и создав предпосылки для последующих астрономических открытий. Практическим результатом эйлеровой лунной теории стали высокоточные таблицы лунных эфемерид, вычисленные немецким астрономом И.-Т. Майером (1723 – 1762 гг.) и ставшие на 100 лет справочным руководством для мореплавателей при определении долготы корабля в открытом море. За эти таблицы английский парламент выплатил 3000 фунтов стерлингов Майеру и 300 фунтов Эйлеру. Однако основная премия (20 тыс. фунтов) за решение «долготной» проблемы (определение долготы с погрешностью не более 0,5˚) была выплачена английскому изобретателю-часовщику Гаррисону (1693 – 1776 гг.) за создание высокоточного морского хронометра.

Лунные исследования подтолкнули Эйлера еще к одной классической проблеме небесной механики – проблеме трех тел, – которой он посвятил замечательный мемуар «Замечания о задаче трех тел» (1765 г.). В нем он нашел «прямолинейные» частные решения задачи – «эйлеровы равновесия», – которые впоследствии были дополнены «треугольными» частными решениями Лагранжа. Эйлеру принадлежит также и решение задачи о движении точки в поле двух неподвижных центров, практическая польза которой выявилась лишь после запуска первых ИСЗ (искусственных спутников Земли).

Наконец, следует рассказать и о кардинальном вкладе великого ученого в гидромеханику, интерес к которой возник у него с первых лет его работы в ПИАН (благодаря контактам с Д. Бернулли). Наиболее важные и интересные результаты по статике и динамике жидкостей были опубликованы Эйлером в 60-е годы, когда ему удалось построить общую теорию равновесия и движения жидкости (тогда как Д. и И. Бернулли ограничивались по преимуществу решением отдельных частных задач). В них он вводит такие фундаментальные понятия гидромеханики, как локальное давление жидкости p, ее плотность ρ, уравнение неразрывности (хотя сам принцип неразрывности был сформулирован Д. Бернулли), понятие «потенциала скоростей» (термин Г. Гельмгольца) и многое другое. Фактически Эйлер ввел в науку новую механическую модель – модель сплошной среды, – которая позднее, уже в XIX веке была подхвачена и развита в работах Коши, Кирхгофа и других основателей механики сплошных сред. Эйлер же, используя «эйлеровы координаты» частицы жидкости x, y, z и компоненты ее скорости u, v, w, вывел в 1755 г. свои знаменитые уравнения движения идеальной жидкости

(14.13)

где P, Q, R – компоненты внешних сил. Поэтому Эйлера можно считать наряду с Д. и И. Бернулли основоположником современной теоретической гидродинамики. Он же в 1754г.предсказал возможность образования пустот внутри движущейся жидкости, положивэтим начало будущей теории кавитации.

Эйлер в своих изысканиях был не только гениальным теоретиком, – он успешно находил, ставил и решал многие прикладные инженерные задачи. Так, приняв участие в конкурсе на изыскание наилучшего корабельного двигателя, объявленном в 1753 г. Парижской АН, он глубоко вник в механику образования реактивной силы тяги вытекающей струи, дав серьезное математическое описание происходящих при этом процессов, и предложил конкретную схему судового гидрореактивного двигателя. Аналогичный инженерный анализ прочности корабля, изложенный в мемуаре «Исследование усилий, которые должны выносить все части корабля во время боковой и килевой качки», был в 1759 г. премирован Парижской АН. По оценке академика А.Н.Крылова, этот мемуар на 100 лет обеспечил кораблестроителей четкими критериями рационального конструирования парусных судов.

Стоит упомянуть также о плодотворном соучастии Эйлера в практических разработках других инженеров и ученых. Так заинтересовавшись недавно изобретенным «сегнеровым колесом», представлявшим собой прообраз будущей гидротурбины, Эйлер тщательно исследовал его гидравлику и в ряде писем изобретателю Сегнеру дал много ценных советов по оптимизации конструкции колеса и повышению его КПД ( что стало одним из первых определений и применений этого фундаментального понятия). Аналогичную задачу оптимизации он рассмотрел в статье «О наивыгоднейшей конструкции ветряных мельниц», опубликованной в «Новых комментариях ПИАН» в 1758г. В ней автор решил вопросы об оптимальном угле наклона лопастей этих мельниц. Через 25 лет французский физик Кулон, сопоставив рекомендации Эйлера с мнениями практиков, убедился в их полном согласии. Еще более плодотворной оказалась деятельность Эйлера по переводу на немецкий язык книги английского автора, члена ЛКО Б. Робинса (1707–1751 гг.) «Новые принципы артиллерии» (1742 г.). Этой книгой, посвященной вопросам внутренней и внешней баллистики, заинтересовался король Фридрих II, который попросил Эйлера сделать ее перевод, снабженный пояснениями и комментариями. Со свойственной ему тщательностью и добросовестностью Эйлер не только сделал ее перевод со всеми необходимыми исправлениями (которых было немало), но существенно расширил и углубил ее содержание посредством специальных «Добавлений», объем которых в 5 раз превысил объем первоначального текста Робинса. Особое внимание он уделил экспериментальным результатам автора, полученным с использованием баллистического маятника, изобретенного самим Робинсом. Этот маятник Эйлер счел важнейшим новшеством в артиллерии XVIII века и в своих «Добавлениях» построил его строгую математическую теорию, намного повысившую точность определения скорости ружейных пуль (по сравнению с расчетной схемой Робинса). В результате возник совместный трактат Робинса-Эйлера объемом в 720 страниц, полное название которого было: «Новые принципы артиллерии, содержащие определение силы пороха вместе с исследованием различия в сопротивлении воздуха при быстрых и медленных движениях». Этот трактат надолго стал лучшим руководством по внешней и внутренней баллистике и был переиздан на английском и французском языках. Нельзя не упомянуть и об одном ошибочном заключении Эйлера. В своих исправлениях и комментариях авторского текста, он выступил против предложенной Робинсом идеи нарезных стволов пушечных орудий и тем самым на целое столетие задержал их введение в практику.

Большое место в работах и интересах Эйлера на протяжении как петербургского, так и берлинского периодов его творчества, занимали разнообразные задачи механики машин и механизмов. Не углубляясь в обсуждение огромного количества этих задач, стоит отметить характерные черты эйлерова подхода к их постановке и решению. Первой из них является стремление к оптимизации как режимов работы, так и ведущих параметров машины. Вторая связана со стремлением описать динамическое поведение машины с учетом возникающих сил инерции. До Эйлера практически все работы и исследования по механике машин и механизмов ограничивались статическим и кинематическим анализом, не учитывающим многих особенностей их рабочих режимов функционирования. Наконец, еще одно важное стремление Эйлера было связано с учетом действия сил трения на динамику движения машины. На этом пути он в 1765 г. получил свою известную формулу для силы натяжения S₂ на одном конце гибкой нити, намотанной на шероховатый цилиндр с углом обхвата φ и коэффициентом трения f, если на другом конце к ней приложена сила S₁

S₂ =S₁ . (14.14)

Несмотря на то, что эта формула впервые была получена еще в 1703 г. французским ученым Жозефом Совером (1653 – 1716), она почти во всех книгах именуется формулой Эйлера. Возможно, это объясняется тем, что вывод ее у Эйлера гораздо проще, чем у Совера. Об острой наблюдательности Эйлера в задачах механики говорит тот факт, что он, наблюдая за спуском судов со стакелей на воду первый отметил, что трение покоя выше, чем трение скольжения.

Даже из сделанного краткого обзора можно увидеть ту грандиозную роль, которую Л.Эйлер сыграл в становлении механики как высокоразвитой теоретической и экспериментальной дисциплины, способной решать самые разнородные задачи на земле и небе. Можно сказать, что если Галилей и Ньютон заложили основы механики как части физики, то Эйлер, произведя ее синтез с математическим анализом и другими ветвями новой математики, распахнул перед ней необъятные сферы практического применения, доступные для исследования вполне среднему специалисту, имеющему университетское образование. Этот научный прорыв сделавший математику не только научным, но и "технологическим" инструментом познания стал мощным фактором в подготовке промышленной революции XIX века.