14.3.3. Даниил – творец гидродинамики

Даниил Бернулли (1700 – 1788) – второй сын Иоганна Бернулли, с детских лет рос и развивался в атмосфере интеллектуальных интересов и поисков и к тому же был явным вундеркиндом, так как в 13 лет он окончил гимназию, а в 16 – университет, став магистром философии. Стоит заметить, что отец крайне ревниво относился к расцветающему математическому таланту Даниила, чувствуя в нем своего будущего соперника. И когда сын, будучи еще ребенком, успешно решал какую-нибудь трудную задачу, отец вместо одобрения и поощрения задавал ему нагоняй за то, что он решал задачу слишком долго. Когда же сын закончил университет, по настоянию отца его дальнейшее образование было нацелено на медицину – в 1720 году он защитил диссертацию на тему «О дыхании». Однако семейное призвание к математике (его старший брат Николай, как и отец, был математиком) все более явственно пробуждалось в нем. Так, приехав в 1721 году в Венецию и ознакомившись там с «физико-механико-медицинской» диссертацией Микелотти, освещающей вопросы гидравлики живых организмов, он живо заинтересовался математическими аспектами механики жидкостей и начал самостоятельно анализировать эти аспекты. Результатом стал его первый научный трактат «Математические упражнения» (1724), в котором одна из задач была связана с интегрированием уравнения Риккати (14.3). И здесь его ждал первый успех – ему удалось найти серию решений этого уравнения для значений:

, – целое. (14.5)

Позднее Эйлер (в 1796 году) дополнит это множество значением . Однако основное содержание трактата Даниила было посвящено гидродинамическим задачам об истечении жидкости из отверстий. И здесь автора ожидал второй успех – он ввел в рассмотрение силу реакции истекающей струи на сосуд, по существу – реактивную силу струи. Это был первый шаг к теоретической ракетодинамике.

Идя навстречу подъему общественного интереса к проблемам науки, Парижская АН в 1724 году начала проведение европейских конкурсов по различным ее проблемам. Тема первого из них была: «О средствах сохранения точности хода водяных или песочных часов на море». И первая премия была присуждена Иоганну Бернулли и его сыну Даниилу! Эта премия стала первым яблоком раздора между отцом и сыном, ставшими соперниками на поприще нарождавшейся новой научной дисциплины – гидродинамики. В своей конкурсной работе Даниил дал простое и наглядное решение античной задачи об идеальной клепсидре (см. п. 2.3.2). Второе столкновение с отцом произошло в 1732 году, когда на очередном конкурсе Парижской АН на тему «О взаимном наклонении планет» первая премия была разделена поровну между двумя лучшими работами. И оказалось, что авторами этих работ были отец и сын Бернулли, что очень не понравилось отцу.

Бурное начало научной карьеры молодого ученого не могло остаться незамеченным: он был избран членом Болонской АН и даже получил приглашение возглавить академию в Генуе. Однако в этот момент из Петербурга поступило предложение на службу в только что созданную там ИПАН. Не желая расставаться со своим братом Николаем, с которым у него были очень теплые отношения, Даниил сомневался, принимать ли это приглашение, но эти сомнения быстро развеялись – президент ИПАН Л. Л. Блюментрост пригласил обоих братьев. Отправляя сыновей в дальнюю и чуждую страну, отец напутствовал их словами: «… лучше несколько потерпеть от климата страны льдов, в которой приветствуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз обижают и презирают». Мог ли он знать тогда, что через год «страна льдов» погубит его старшего и любимого сына Николая.

По прибытии в Петербург в октябре 1725 года Даниил получил под свое начало кафедру физиологии ИПАН с жалованием 800 рублей в год, а Николай – кафедру математики с жалованием 1000 рублей в год. Воодушевленные моральными и материальными стимулами, братья активно включились в научную работу, ставя перед собой новые задачи и получая впечатляющие результаты. Так за первые два года работы в ИПАН Даниил сделал около 20 научных докладов (первый из них состоялся 4 декабря 1725 года, то есть через 2 месяца после прибытия в Петербург), в которых он развивал некоторые идеи диссертации своего отца. К сожалению, идиллии долго не продолжаются – зимой 1725 – 1726 года Николай простудился, серьезно заболел и через 8 месяцев после приезда в Петербург скончался, оставив после себя две научные статьи по математике и теории удара. Они потом были изданы Даниилом в трудах ИПАН. После смерти брата освободившееся место главы кафедры математики занял Даниил, а на место заведующего кафедрой физиологии по его рекомендации был приглашен его базельский друг и коллега Л. Эйлер, прибывший в Петербург в 1727 году и получивший жалование всего 200 рублей в год.

Возглавляя кафедру математики, Даниил продолжал свои занятия по гидравлике и биомеханике организмов человека и животных. Его коллеги и ученики по кафедре физиологии Дювернуа и Вейтбрехт начали изучение вопросов гемодинамики (кровообращения) и, возможно, первыми установили, что движение крови по сосудам создается не только за счет сокращения сердца, но и за счет упругого действия стенок сосудов. Поэтому эту кафедру можно считать тем зародышем, из которого впоследствии сформировалась знаменитая Петербургская физиологическая школа.

Началом гемодинамики принято считать знаменитый трактат английского ученого Вильяма Гарвея (1578 – 1657) «Анатомическое исследование о движении сердца и крови в животных» (1628), о котором Декарт писал: «Не хватает слов, чтобы выразить похвалу такому великому открытию». Так он оценил открытие большого и малого кругов кровообращения. Позднее (в 1661 году) итальянский биолог Мальпиги открыл капиллярные сосуды, а в 1681 году его соотечественник Дж. Борелли в книге «О движении животных» дал первые примеры биомеханического объяснения движений животных и их дыхания. Именно эта работа подтолкнула Иоганна, а затем и Даниила Бернулли к изучению вопросов биомеханики и кровообращения.

Постепенно интересы молодого ученого стали смещаться в сторону гидравлики, о чем свидетельствует его первая статья, опубликованная в «Комментариях» ИПАН: «Новая теория движения воды, текущей по различным каналам» (1729). Здесь он уже использует новые законы механики – условие неразрывности потока и закон сохранения живых сил, – а также обобщает результаты своего предшественника Мариотта (1620 – 1684), изложенные в его «Трактате о движении воды и других жидких тел» (1686). Этот трактат был результатом многолетней работы автора в качестве технического руководителя строительством фонтанов и водопровода в ансамбле Версальского дворца (при Людовике XIV). Интересно, что кроме решения гидравлических вопросов Мариотт рассматривал и вопросы прочности водопроводных труб. Возможно, поэтому созданная им система фонтанов исправно функционировала более 100 лет.

Помимо использования условия неразрывности (известного еще Леонардо да Винчи) Даниил Бернулли в своей статье впервые установил эффект уменьшения давления потока на стенку при возрастании его скорости. Позднее отсюда родился знаменитый «интеграл Бернулли», о котором он доложил в 1729 году на одном из заседаний ИПАН. В современных обозначениях этот интеграл имеет вид:

, (14.6)

где и – плотность и скорость жидкости, – давление, а – высота ее элементарного объема. Эта статья стала первым шагом в написании главной книги Д. Бернулли «Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкости», над которой он работал до 1733 года в Петербурге, завершил ее в Базеле, а издал в Страсбурге в 1738 году. Интересно привести ее полное наименование в переводе на русский язык: «Даниила Бернулли, сына Иоганна, профессора медицины в Базеле, ранее ординарного профессора высшей математики, ныне члена и почетного профессора императорской Петербургской академии наук Гидродинамика, или записки о силах и движениях жидкостей. Академический труд, составленный автором в период пребывания его в Петербурге». За этот эпохальный трактат автор получил от издателя гонорар в 100 талеров и 30 экземпляров книги. В русском переводе ее объем занял 400 страниц.

Хотя в книге еще не было дифференциальных уравнений движения жидкости (в окончательном виде они были получены Эйлером в 1755 году), в ней уже используется понятие элементарного объема, вводится понятие "потенциальной силы" (как высоты центра тяжести столба жидкости) и доказывается, что законы сохранения "силые" есть не что иное, как первые интегралы ньютоновских уравнений движения. Эти интегралы отчетливо продемонстрировали независимый характер законов сохранения по Декарту ( ) и по Лейбницу ( ). Этот принцип Лейбница – принцип сохранения живых сил (который с учетом потери высоты текущей жидкости является ни чем иным, как законом сохранения энергии) – и послужил теоретической основой для решения конкретных задач.

Эффективность такого подхода Д. Бернулли наглядно демонстрирует на множестве практических примеров из многовековых наблюдений: срыв крыш домов при ураганах, перемещение огромных камней в потоках, взаимное притяжение судов, идущих на параллельных курсах и прочее. Также он дает теоретическое объяснение ряда экспериментальных задач из трактата Мариотта. В одной из глав своей книги Даниил изучает движение горячего воздуха в дымоходе русской печи и делает практический вывод, что тяга воздуха в трубе улучшится, если в определенной точке дымохода сделать боковое отверстие. Наконец, он обнаружил и объяснил ускорение газового потока в расширяющейся трубе (которую впоследствии назвали соплом Лаваля) и получил формулу для силы реакции вытекающей струи (которая в русской технической литературе именуется формулой Мещерского). В качестве иллюстрации применения этой формулы он определил реактивную силу, которую истекающая из сосуда жидкость оказывает на этот сосуд. Также он дал полное объяснение парадокса Даламбера (твердое тело в потоке идеальной жидкости не испытывает силы сопротивления). Однако сам Даламбер не понял и не принял этих объяснений и в своем «Трактате о равновесии и движении жидкостей» (1744) подверг «Гидродинамику» Даниила Бернулли резкой и необоснованной критике. Арбитром в этом споре выступил Эйлер, сумевший притушить возникший спор и защитить утверждения и выводы своего друга. Однако самые страшные и несправедливые претензии к Даниилу предъявил его отец, выпустивший в свет в 1742 году свою книгу «Гидравлика. Впервые открытая и доказанная из чисто механических основ». В нее он включил целый ряд разделов и задач из книги сына, приписав их себе (см.п.14.3.2) и опять Эйлер был вынужден защищать честь своего друга от нападок отца (который был когда-то его учителем!).

Несмотря на поползновения маститых недоброжелателей, «Гидродинамика» быстро завоевала признание в Европе и России, и даже весьма придирчивый администратор ИПАН И.-Д. Шумахер был вынужден заявить, что Даниил Бернулли «яко член здешней Академии и напечатанною в Германии собственным своим иждивением книгой о гидростатике немалую учинил Академии славу». Фактически эта книга стала первым шагом в создании новой ветви механики, за которым вскоре последовал и второй шаг, сделанный уже Эйлером – построение динамических уравнений движения идеальной жидкости.

Надо сказать, что уже со времени своих первых научных работ в ИПАН Даниил проявлял фанатичную преданность науке, из-за чего, видимо, как и Ньютон остался холостяком. В своих выступлениях и частных спорах о новой механике он страстно отстаивал свои взгляды и идеи «невзирая на лица» оппонентов, даже таких маститых, как Я. Германн и Бюльфингер. Эти нередкие столкновения совпали по времени с осложнениями в положении самой Академии в период шатаний и перемен кремлевской власти. Поэтому в 1733 году Даниил уезжает из Петербурга в родной Базель, где сначала заведует кафедрой анатомии и ботаники, а с 1750 года и до конца своих дней заведует кафедрой физики в университете. Оставаясь при этом почетным академиком ИПАН с пенсией 200 рублей в год (которая в это смутное время выплачивалась крайне нерегулярно) Даниил большинство своих новых научных работ продолжал печатать в «Комментариях» ИПАН. Однако возвратиться в Петербург (как это сделал Эйлер в 1766 году) он так и не решился, несмотря на неоднократно предлагавшийся ему (уже во времена Екатерины II) оклад в 1600 рублей.

До последних дней своей жизни Даниил активно работал по самым разнообразным вопросам, регулярно получая премии на конкурсах Парижской АН (всего он получил их 10). Тематика его работ охватывала газовые законы (где он получил известное уравнение Ван-дер-Ваальса, уравнение Клапейрона , вывел закон Гей-Люссака, получил барометрическую формулу), изучал механику морских приливов, построил линейную теорию колебаний струны ( ), используя при поиске решения тригонометрические ряды (будущие ряды Фурье), изучал задачи акустики (колебание воздуха в трубах). Именно Д. Бернулли дал определение числа как предел:

. (14.7)

Продолжая исследования своего дяди Якоба, по изгибу балок и пластин, он переслал Эйлера интеграл (14.2) для "потенциальной силы" , предложив ему путем минимизации этого интеграла найти форму изогнутой оси балки (п.14.4.3). и Эйлер сделал это, получив целую серию своих знаменитых "эластик Эйлера". также наряду с Эйлером Даниил строил и изучал решение уравнения поперечных колебаний балки при разных граничных условиях.Он же дал метод решения ряда задач теории вероятностей посредством решения дифференциальных уравнений. Совместно с Эйлером он впервые сформулировал закон сохранения момента количества движения механической системы (1746).

Получив наследство после смерти отца (1748), Даниил становится самостоятельным человеком и со свойственной ему широтой занимается благотворительностью в родном городе. На свои средства он строит дешевую гостиницу для путешествующих студентов, крупные суммы денег жертвует университету. Почти все свои научные работы в конце жизни он публикует в трудах ИПАН (из общего числа 75 научных работ он опубликовал в них 47). При этом он писал: «Для меня истинное удовольствие всю жизнь состоять в русской императорской службе; все же прочее я считаю за ничто». Научный авторитет Даниила Бернулли был очень высок: он был избран почетным членом всех ведущих Академий наук Европы – Берлинской (1747 г.), Парижской (1748 г.), Лондонского королевского общества (1750 г.), не говоря уже о ИПАН, действительным членом которой он был в период с 1725 г. по 1733 г. На своей родине он пользовался всеобщим уважением и любовью, имел широкий круг друзей, а когда в возрасте 82 лет умер в своем рабочем кресле (от астмы), город устроил ему торжественные похороны.

Резюме: Начало династии, ее роль в европейской науке. Якоб – начало карьеры, переписка с Лейбницем по основам математического анализа. Теория кривых линий, уравнение изгиба стержней, «золотая теорема», балка Бернулли–Эйлера. Распределение Бернулли, уравнение Риккати. Иоганн – контакты с Лопиталем, брахистохрона, переписка с Вариньоном, трактат «Гидравлика», конфликты с братом и сыном. Даниил – трактат «Математические упражнения», участие в конкурсах ИПАН, членство в ИПАН, работы по физиологии, «интеграл Бернулли», трактат «Гидродинамика», понятие потенциальной энергии, реактивной силы, «парадокс Даламбера», общение с Эйлером и Шумахером, возвращение в Базель, последние работы.