14.3. Династия Бернулли

В истории европейской культуры Нового времени известно немало семейных династий, давших миру 2, 3, 4 поколения выдающихся творческих личностей – ученых, музыкантов, артистов, литераторов. Это династия композиторов семейства Бах, династии астрономов Кассини и Струве, писателей Дюма, актеров Садовских и другие. Наиболее же ярким примером высокоодаренной династии европейских математиков является семейство Бернулли из Базеля (Швейцария), которое на протяжении 250 лет «поставляло» талантливых профессоров в университеты и Академии наук Базеля, Берлина, Петербурга, Парижа. Так кафедра математики в Базельском университете в течение 105 лет возглавлялась членами семьи Бернулли, а почти 200 лет кто-либо из членов этого клана был ее профессором. В Парижской АН из 8 мест, предназначавшихся для иностранных членов АН, два места в течение почти 100 лет постоянно занимали выходцы из клана Бернулли (сначала это были Якоб и Иоганн, затем Даниил, а после его смерти – его брат Иоганн младший). Из 11 наиболее знаменитых членов династии Бернулли 8 были математиками, причем трое из них – Якоб, Иоганн и Даниил – выдающимися. Четверо членов рода Бернулли были почетными, а трое – действительными членами ИПАН. Из них двое – братья Даниил и Николай младший – вошли в число первых академиков ИПАН. Имя семейства Бернулли широко вошло в лексикон современной математики и механики в качестве многих наименований: это брахистохрона (Иоганн), интеграл Бернулли (Даниил), числа и многочлены Бернулли, лемниската и распределение Бернулли, балка Бернулли-Эйлера (Якоб) и прочее.

Родоначальником клана Бернулли считается отец братьев Якоба и Иоганна Николай старший (1623 – 1708), родители которого – протестанты – приехали в Швейцарию из Антверпена, где подвергались преследованиям со стороны католиков. Обосновавшись в Базеле, семья Бернулли в условиях протестантской демократии быстро вышла на уровень одной из весьма успешных купеческих семей города. Однако вместо того, чтобы продолжать столь удачную семейную линию, сыновья Николая внезапно свернули с нее, предпочтя совершенно иную сферу – математику, навеянную ветрами новой эпохи – эпохи научных революций. И многие их потомки в нескольких поколениях продолжили линию интеллектуальной профессионализации, образовав одну из самых ярких династий в истории европейской науки. Не пытаясь дать обзор всей этой династии, ограничимся описанием жизни и достижений трех ее самых знаменитых представителей, сыгравших выдающуюся роль в создании современной математики, механики и физики.

14.3.1. Якоб – первенец династии

Уже в детском возрасте Якоб Бернулли (1654 – 1705), старший из сыновей Николая старшего, проявил способности к языкам (он выучил 5 языков кроме немецкого) и к математике, которую изучил самостоятельно тайком от отца. Став юношей, он по настоянию отца получил богословское образование и по окончании Базельского университета начал с большим успехом читать проповеди в разных европейских странах и на разных языках. Разъезжая по Европе, он познакомился с Декартом в Париже, с Гюйгенсом в Голландии, посетил Гринвичскую обсерваторию. Эти встречи и связанные с ними беседы о науке возродили в нем интерес к математике и астрономии, который особенно усилился после появления в небе Европы в 1680 году крупной кометы с длинным хвостом. Наблюдая за ней, он попытался посредством математических расчетов прогнозировать траекторию ее движения. Об этом он и написал в 1681 году свою первую научную работу, в которой заключил, что кометы – это не атмосферные феномены, а подвижные небесные тела. Тут же его работа была серьезно раскритикована церковниками, утверждавшими, что кометы – знаки Божьего гнева, и поэтому их форма и движение не поддаются никакому расчету. Якобу пришлось согласиться с этой критикой, признав свои заблуждения, однако после исчерпания этого инцидента он решил оставить богословскую карьеру и заняться математикой и физикой. Начав читать лекции по этим дисциплинам, Якоб быстро приобрел известность и уважение в кругу своих коллег и в 1686 году был приглашен на вакантное место главы кафедры математики Базельского университета. С этого момента кафедра на 105 лет попала под руководство членов рода Бернулли (после смерти Якоба в 1705 году ее возглавил его брат Иоганн, которого в 1748 году сменил его сын Иоганн II и так далее). Занявшись в 1687 году преподавательской и научной работой, Якоб в этом же году неожиданно знакомится со знаменитой статьей Лейбница «Новый метод определения максимумов и минимумов, …», опубликованной в 1684 году в первом европейском научном журнале «Acta eruditorum». И эта статья, в которой Лейбниц в крайне сжатой форме (ее объем всего 7 страниц) изложил основы нового направления математики – математического анализа, – обозначившего переход математической науки на новый уровень, сыграла судьбоносную роль в научной жизни и научных интересах ученого.

Ввиду крайней краткости и лаконичности изложения в статье основных положений нового исчисления Якоб испытывал немалые трудности в его понимании, и поэтому решил привлечь к этому изучению своего младшего брата Иоганна, который был в это время его студентом (он был на 13 лет моложе Якоба), и уже проявлял выдающиеся математические способности. Совместными усилиями братья не только освоили предложенный Лейбницем метод исчисления, но и начали самостоятельно его продолжать и развивать, применяя для решения конкретных задач механики и физики. Они начали переписку с Лейбницем, который очень благожелательно воспринял их соучастие в разработке новой математики и даже называл впоследствии их соавторами своего открытия. В 1690 году Якоб посредством нового метода решил поставленную Лейбницем задачу об отыскании изохроны, то есть кривой, по которой материальная точка соскальзывает вниз, имея постоянную вертикальную скорость (ею оказалась полукубическая парабола , именуемая параболой Нейля, математика, нашедшего в 1657 году длину ее дуги). Достигнутый успех обрадовал Лейбница и окрылил Якоба, который после этого серьезно заинтересовался плоскими кривыми и в своей статье, опубликованной в «Acta eruditorum» в 1690 году дал постановку задачи о геометрии цепной линии, над которой задумывался еще Галилей. Эта статья интересна еще и тем, что в ней впервые появился термин «интеграл», предложенный Иоганном, символ же интеграла был введен уже Лейбницем. Через год ее решение прислали Лейбниц, Гюйгенс и брат Якоба Иоганн, который под влиянием Якоба начал переключаться на математические исследования (хотя в университете он учился по медицинскому профилю). Важно заметить, что если Лейбниц и братья Бернулли искали форму цепной линии посредством нового метода, то решение Гюйгенса было построено традиционным геометрическим методом. Полное совпадение этих решений стало блестящим подтверждением корректности и эффективности нового исчисления. Продолжая развитие теории плоских кривых, Якоб в 1692 году находит форму так называемой парусной кривой, характеризующей форму корабельного паруса в ветровом потоке, а также вводит в рассмотрение так называемую «лемнискату Бернулли» (в полярных координатах , ее уравнение есть ) – двухфокусную кривую, являющуюся частным случаем овалов Кассини. В процессе изучения свойств плоских кривых Якоб находит формулу для радиуса кривизны R в произвольной точке плоской кривой (эту формулу он назвал «золотой теоремой»). С ее помощью в 1691 году он ставит задачу о форме изгиба упругой линии, постулируя, что ее кривизна в любом сечении пропорциональна изгибающему моменту в этом сечении. На этой основе он решает задачу об изгибе консольной балки под действием концевого груза весом , создающего в сечении с координатой , отсчитываемой от конца консоли, изгибающий момент . В результате он получил свое знаменитое уравнение для прогиба в сечении :

, (14.1)

где – константа, зависящая от материала балки, формы ее сечения и положения нейтральной оси, которое Якоб ошибочно совмещал с крайним поджатым волокном балки. Эта ошибка была позднее замечена и исправлена Эйлером. При этом Якоб замечает, что положению равновесия изогнутой балки отвечает минимальное значение интеграла:

, (14.2)

который называет «потенциальной силой» (в современной терминологии это —потенциальная энергия изгиба). Здесь – радиус кривизны балки в сечении , а – ее длина. Позднее, используя «золотую теорему», Эйлер построит знаменитую математическую модель балки Бернулли-Эйлера, ставшую важнейшим элементом современной дисциплины «Сопротивление материалов».

Занявшись изучением спиральных кривых, Якоб впервые вводит для их описания полярную систему координат. С ее помощью он исследует геометрические свойства пространственной сферической кривой – локсодромии – и увлекается ее плоским аналогом – логарифмической спиралью (термин, введенный в 1704 году П. Вариньоном). Хотя впервые о ней заговорил еще Декарт (в 1638 году) и независимо от него Э. Торричелли (1644), ее замечательные свойства были обнаружены именно Якобом Бернулли в 1692 году, который даже завещал высечь ее изображение на своем надгробии с надписью: «Изменившись, возникаю такою же» (здесь имеется в виду ее масштабная инвариантность, что позволяет считать ее первой фрактальной кривой).

Начавшаяся в 1690 году переписка братьев Бернулли с Лейбницем оказалась чрезвычайно важной для обеих сторон по своей результативности, войдя в историю науки как яркий пример успешного сотрудничества молодости и зрелости. Дело в том, что знаменитая статья Лейбница «Новый метод…» от 1684 года, несмотря на свою революционность, не была должным образом оценена и понята большинством европейских математиков (даже таким, как Гюйгенс). И только два гениальных брата серьезно заинтересовались ею, с трудом разобрались в ее новых и эффективных идеях и даже увидели то, чего, по-видимому, не заметил сам автор статьи – возможность постановки и решения новым методом множества задач физики и механики. Фактически именно они ввели в обиход дифференциальные уравнения первого порядка, использовали для их интегрирования метод разделения переменных и предложили понятие интегрального множителя, что с восторгом было воспринято благородным Лейбницем. В 1701 году он так оценил их участие в развитии новой математики: «Я ценю их обоих, как только можно ценить наиболее глубоких гениев в математике. Я многим обязан тому и другому…, так как главным образом благодаря их открытиям разрозненные семена моего метода смогли принести столько добрых плодов». В этих словах, по-видимому, отражается и поддержка Якобом Бернулли давней идеи Лейбница о «сохранении силы движения», которая позднее начала формироваться у него как часть общего закона о сохранении механической энергии (под живой силой Лейбниц понимал ).

К сожалению, достигнутые братьями успехи и их растущая известность не прошли бесследно для их собственных взаимоотношений: молодой и талантливый Иоганн, еще недавно ходивший в учениках своего старшего брата Якоба, стал настойчиво доказывать свое научное превосходство над ним и оспаривать его авторство в их совместных результатах, не стесняясь привлекать окружающих людей к разбору внутренних конфликтов. Особенно обострились отношения братьев после публикации в журнале «Acta eruditorum» Иоганном своей знаменитой задачи о брахистохроне (1696), решение которой независимо дали Якоб Бернулли, Лейбниц, Ньютон и Лопиталь. И следует признать, что решение Якоба оказалось наиболее интересным и перспективным, и именно оно стало первым шагом к будущей теории вариационных задач, разработанной впоследствии в работах Эйлера и Лагранжа. Решив задачу брата о брахистохроне, Якоб в свою очередь предложил Иоганну через тот же журнал решить изопериметрическую задачу (точнее, целый класс таких задач) о проведении замкнутой кривой фиксированной длины через 4 заданных точки плоскости, охватив ею наибольшую площадь. При этом Якоб пообещал выплатить брату крупную сумму денег, если тот сумеет справиться с задачей. Начавшийся ожесточенный спор между братьями быстро принял недостойный характер, и журнал перестал печатать их переписку (к тому времени братья жили в разных городах). Окончательно этот конфликт прекратился только со смертью Якоба в 1705 году, однако у Иоганна споры с коллегами и приоритетные претензии к ним продолжались всю жизнь.

Завершая разговор о достижениях Якоба в других сферах математики, необходимо оценить его важный вклад в развитие комбинаторики и теории вероятности, изложенный в трактате «Искусство умозаключений» (1713). Здесь излагаются результаты Гюйгенса по теории азартных игр, строятся биномиальные распределения («распределения Бернулли»), устанавливается «закон больших чисел» и строится «схема Бернулли» для описания серии независимых испытаний. Этот трактат твердо ставит Якоба Бернулли в число творцов теории вероятностей рядом с Ферма, Паскалем и Гюйгенсом. При рассмотрении «треугольника Паскаля» Якоб впервые использует так называемые «числа Бернулли», связанные с суммированием отрезков степенных рядов. Вопросам суммирования числовых рядов и их отрезков посвящена его книга «Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах» (1704), ставшая первым серьезным руководством для многих поколений студентов-математиков. В ней он, в частности, установил расходимость гармонического ряда. Наконец, стоит упомянуть и об одном широко известном уравнении – уравнении Риккати, – начало изучению которого также положил Якоб в 1702 году. Это нелинейное дифференциальное уравнение:

(14.3)

встречается во многих задачах прикладной математики. Не найдя точного решения, Якоб построил его приближенное решение при , в виде ряда:

. (14.4)

Впоследствии это уравнение исследовали Даниил Бернулли (1724) и Эйлер, построивший ряд его точных решений, а Лиувилль в 1841 году доказал, что других решений в элементарных функциях оно не имеет. Свое название это уравнение получило после статьи венецианского графа (и гидростроителя) Дж. Риккати, опубликованной в журнале «Acta eruditorum» (1724), в которой он заявил, что нашел его точное решение. Однако самого решения в явном виде он не представил, а дал лишь его запись в виде анаграммы, которая так и осталась неразгаданной. Тем не менее, свое имя он увековечил!

Скончался Якоб Бернулли в 1705 году от туберкулеза, освободив свое место на кафедре брату Иоганну. Полное собрание сочинений Якоба Бернулли было издано в 1744 году.