12.3.3. Открытие математического анализа

Потерпев неудачу на дипломатическом фронте, Лейбниц сумел познакомиться и сблизиться с великим Гюйгенсом, в то время президентом Парижской Академии Наук. Встреча произвела на Лейбница огромное впечатление, он ознакомился с работами как самого Гюйгенса, так, по его совету, и с трудами Ферма, Паскаля, Декарта и других французских математиков. Впоследствии он писал: «Я вдруг просветился и неожиданно для себя и других, не знавших, что я новичок в этом деле (в математике), сделал много открытий». В частности он получил следующий ряд для π (1673 г.):

(12.1)

и установил признак его сходимости. Тут же выяснилось, что он является частным случаем ряда Грегори, открытого в 1670 г.:

(12.2)

причем сам Грегори не заметил, что отсюда при x =1 следует ряд (12.1) для π. Общий метод разложения функций в степенные ряды также принадлежит Лейбницу (а не Б. Тейлору). Самым большим достижением Лейбница в этот период стало усовершенствование арифметической машины Паскаля, которая совершала лишь два действия – сложение и вычитание. Машина Лейбница могла сверх этого умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни второй и третьей степени! После демонстрации этой машины в 1673 г. в Парижской Академии Наук о ней писали: «Посредством машины Лейбница любой мальчик может произвести сложнейшие вычисления». Эта машина сделала имя Лейбница широко известным, и он был приглашен в Лондон, где на одном из заседаний ЛКО продемонстрировал действие своей арифметической машины. После этого он был избран иностранным членом Королевского общества (это произошло через год после принятия в него Ньютона). Оригинал этой машины ныне хранится в одной из ганноверских библиотек.

Вернувшись в Париж, Лейбниц все больше увлекается математикой и философией, постепенно отходя от юриспруденции. В результате, только пройдя 26-летний возраст, он становится профессиональным математиком и именно на этот период приходится его величайшее научное достижение – открытие математического анализа, т.е. диф-ференциального и интегрального исчисления. Основой для этого открытия послужило детальное изучение математических работ Паскаля и Ферма под руководством Гюйгенса. Как писал впоследствии сам Лейбниц, основная идея его открытия вспыхнула после того, как он увидел «характеристический треугольник» Паскаля. Лейбниц установил четкую взаимосвязь двух знаменитых проблем того времени – проблемы проведения касательной к кривой и проблемы её квадрирования (т.е. интегрирования). Из сохранившихся рукописей Лейбница известно, что это открытие произошло в октябре – ноябре 1675 г., а его разработка и завершение потребовали более 10 последующих лет.

Новое исчисление Лейбниц рассматривал как часть своей философской доктрины, в которой он трактовал добро и зло как максимумы и минимумы некоторой функции Всеобщего блага, и пытался доказать, что наш мир есть лучший из миров! Будучи истовым протестантом, а вместе с тем и гениальным ученым, Лейбниц, подобно Кеплеру, Ньютону, Паскалю и др. пытался соединить науку и религию, разум и веру, логику и откровение. Вся его философия была подчинена этой цели, а математический аппарат он рассматривал как инструмент её достижения. Широко известно его высказывание: «Как Бог вычисляет, так мир делает», которое можно трактовать как развитие философских концепций Пифагора и Платона о связи реального и виртуального миров. В современной же физике реальный и виртуальный мир можно трактовать как различные измерения единого многомерного мира, в котором не существует изолированных подпространств. Позднее он развивал свою доктрину как учение о бесконечно малых элементах Вселенной – монадах – и о мировой гармонии.

В 1676 г. Лейбниц по приглашению герцога ганноверского Иоганна Фридриха переезжает в Ганновер, где работает в должности герцогского историогрофа, библиотекаря и алхимика с жалованием 400 талеров в год, а также ищет доказательства принадлежности герцогского рода к императорской фамилии. Ради этого он совершает 3-х летнее путешествие в Италию (1687 – 1690) для сбора материалов по истории Священной Римской империи, которая к этому времени, по язвительному замечанию Вольтера, уже «не была Священной, не была Римской и не была Империей». Однако эта вынужденная деятельность не помешала ему параллельно с этим готовить свою первую публикацию о новом исчислении. В общей сложности он провел на этой службе 40 лет, причем впоследствии о своем первом покровителе он говорил: «Я живу у монарха настолько добродетельного, что повиновение ему лучше всякой свободы». Однако, как известно, хорошей жизни долго не бывает: первый же наследник герцога уже не заслуживал сделанного признания, а второй сделал жизнь историографа просто нестерпимой. Однако у великого и уже престарелого ученого не было других средств существования, т.к. за свои эпохальные достижения он не получал ничего. Поэтому приходилось терпеть и унижения и выговоры «за нерадивость», и сокращение денежного содержания. Возможно, это все и стало причиной его мучительной и крайне подозрительной смерти.

В 1684 г. в Лейпциге был организован первый немецкий научный журнал – «Acta eruditorum» («Труды эрудитов») – и Лейбниц стал душой и активнейшим автором этого издания. В первом номере журнала он поместил свой ряд для π/4, а в одном из номеров этого же 1684 года – небольшую по объёму (~7 страниц текста), но кардинально важную для мировой математики статью «Новый метод определения максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». Эта статья оказалась лучом света в науке и вызвала огромный резонанс у европейских математиков. Ввиду крайней лаконичности изложения она была трудна для понимания средним математиком, и большой удачей оказалось то, что ею заинтересовались два гениальных молодых ученых из Базеля – братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они скрупулезно проработали материал статьи, списались с Лейбницем и постепенно освоили все её идеи, начав активно применять их для решения конкретных задач механики и математики. По существу они стали соавторами Лейбница в разработке математического анализа, что он и высказал в одном из своих ответных писем братьям такими словами «Новое исчисление ваше не менее, чем мое». В дальнейшем плодотворная переписка Лейбница с И. Бернулли продолжалась до последних дней жизни Лейбница!

Новое исчисление, насыщенное новыми понятиями, терминами и оперативными действиями, потребовало новых обозначений, таких как и терминов – «функция», «дифференциальное уравнение», «координаты», «алгебраические» и «трансцендентные» кривые и других. Термин «интеграл» был предложен братьями Бернулли, которые разработали также и методы решения некоторых дифференциальных уравнений. Большую роль в популяризации нового исчисления сыграл учебник Лопиталя, написанный им по лекциям И. Бернулли и изданный в Париже в 1696 г. После выхода этой книги почти вся Европа стала пользоваться лейбницевым исчислением и его обозначениями. Только в Англии ученики Ньютона, знавшие о более ранних работах своего учителя по анализу бесконечно малых, пытались оспаривать приоритет Лейбница, обвиняя его в плагиате. Однако позднейшие исследования этого спора убедительно показали, что, хотя действительно аналогичные результаты были получены Ньютоном на несколько лет раньше, чем Лейбницем (имеется ввиду его «метод флюксий» и «метод флюент»), но опубликованы они были позднее 1684 года и основывались на иных обозначениях, так и не вошедших в практику. В конце концов, и сам Ньютон признал факт независимости результатов Лейбница. Были у Лейбница и другие недоброжелатели, несогласные с новыми идеями. Так большой спор возник вокруг неопределенности вида (или предела отношения вида ). В чем-то Ньютон и Лейбниц дополняли друг друга: так Ньютон первый ввел порядковую индексацию ряда величин x₁, x₂, x₃ и т.д., а Лейбниц обобщил ее на двумерное множество a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ и т.д.

Возможно, что приоритетный спор между Лейбницем и Ньютоном (точнее – между их последователями, которые занимались этими разборками более 40 лет, когда оба великих ученых уже давно ушли из жизни) предопределил и негативное восприятие Лейбницем закона Всемирного тяготения. Как и его предшественник и наставник Гюйгенс, Лейбниц не мог согласиться с принципом дальнодействия, предложенным Ньютоном и его интерпретацией силы тяготения, и даже пытался сам построить физическую теорию этой силы. К сожалению, такая теория не построена до сих пор.

В 1686 г. в журнале «Acta eruditorum» Лейбниц публикует статью, посвященную вопросам интегрирования функции, в которой предложил задачу об отыскании кривой, по которой скользящая тяжелая точка за равные промежутки времени опускается на равные высоты. Решение этой задачи вскоре было дано Я. Бернулли (1690 г.), который свел её к дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными. В результате оказалось, что искомая кривая есть полукубическая парабола. Считается, что именно эта задача стала порождающей для знаменитой задачи И.Бернулли о брахистохроне. В этой же статье Лейбниц пишет: «если известно, что , то справедливо и обратное соотношение , т.е. операции и d так же обратны, как степени и корни в обыкновенном исчислении». Здесь еще нет различения определенного и неопределенного интеграла, которое возникнет только в 1694 г., когда Лейбниц введёт понятие неопределенного интеграла, содержащего произвольную константу.

Заинтересовавшись известной задачей Галилея о прочности консольной балки, Лейбниц, хотя и не получает уравнения её изгиба (это уравнение несколько позже построил Я. Бернулли, а окончательно канонизировал Л. Эйлер), тем не менее, впервые использует в своем анализе закон Гука, а также вводит в расчет момент инерции поперечного сечения балки. Важнейшее значение для механики имело новое понятие, введенное Лейбницем в 1686 г. – понятие «живой силы» (mv²) , – полученное им путем интегрирования выражения mvdv , возникающего в задачах динамики. Отсюда он получил и знаменитую теорему о том, что приращение "живой силы" механической системы пропорционально работе внешних сил. В отличие от «мертвой силы» (силы статического давления по Галилею) живая сила есть результат движения и она сохраняется при ударе. Это понятие породило длительный спор Лейбница с картезианцами, отстаивавшими другую меру движения – количество движения mv. И только после работ Д. Бернулли, Даламбера, Эйлера и Лагранжа спор был окончательно разрешен – закон сохранения живых сил при упругом ударе был заменен законом сохранения механической энергии, а скалярный закон сохранения количества движения Декарта был заменен векторным соотношением и стал независимым законом сохранения.

Фактически именно Лейбниц первый заговорил в 1686 г. о законе сохранения механической энергии, введя в обиход понятия кинетической и потенциальной энергии (чего не сделал Ньютон, ограничившийся понятиями силы, скорости и ускорения), а также ввел термин «динамика» в его современном смысле. Главная трудность в формировании этого закона заключалась в том, что в те времена еще не была до конца осознана возможность преобразования механической энергии в другие её формы (тепловую, химическую и т.д.). Тем не менее, Лейбниц уже тогда писал, что при ударе энергия движения (живая сила, по его терминологии) «…не уничтожается, а лишь рассеивается в чрезвычайно мелких частях; здесь происходит не потеря силы (живой), а нечто подобное тому, что имеет место при размене крупных денег на мелкие».

Проживая с 1676 г. в Ганновере, Лейбниц пользовался большим авторитетом в семье герцога и в 1680 г. герцогиня пригласила его заниматься обучением своей 12-летней дочери Софии Шарлотты. Через 4 года София вышла замуж за бранденбургского принца – будущего прусского короля Фридриха I – и уехала из Ганновера в Берлин, однако она всегда помнила и ценила уроки своего учителя, поддерживая с ним переписку. Эта переписка с будущей королевой Софией касалась философских, религиозных и государственных проблем, а также вопросов организации Берлинской Академии наук, о чем Лейбниц настойчиво ходатайствовал перед курфюрстом – мужем Софии. В результате Академия, получившая впоследствии наименование Бранденбургского научного общества, была открыта в июле 1700г. и Лейбниц был назначен её первым президентом. Однако административная деятельность на этом посту оказалась не очень интересной для его пытливого ума, и он постепенно переключился на организацию Академий наук в других европейских государствах. Потребность в таких организациях отчетливо ощущалась в бурно развивавшейся европейской науке, т.к. большинство университетов Европы, будучи тесно привязаны к крупным монастырям, фактически оказались их кадровыми филиалами и поэтому отчаянно сопротивлялись новым научным знаниям и понятиям. Интуитивно чувствуя это и постоянно участвуя в разработке новых концепций, Лейбниц, подобно Мерсенну, стал «ученым - организатором» новой европейской науки и её новых научных учреждений. В частности, его можно считать инициатором создания Петербургской Императорской Академии наук, хотя он и не дожил до её фактического открытия. Он так писал об этой стороне своей деятельности: «Покровительство наукам всегда было моей главной целью, только не доставало великого монарха, который достаточно интересовался бы этим делом». О широте и глубине математических интересов Лейбница говорит его отношение к недавно появившимся, но еще непонятым мнимым числам. По поводу их мистического истолкования некоторыми математиками, он писал : " Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежищебожественного духа, почти что сочетание бытия с небытием". По некоторым сведениям он завещал изобразить на своем надгробии знак , что к сожанию, не было исполнено.

Увлеченный своей бурной научной, организаторской и дипломатической жизнью Лейбниц так и не сумел устроить свою личную жизнь, оставшись закоренелым холостяком. Немалую роль в таком выборе сыграла его давняя эпистолярная связь с Софией Шарлоттой, которая, став королевой Пруссии и быстро потеряв интерес к придворным балам, интригам и пустословиям, вновь обратилась к своему давнему учителю, стараясь постигнуть его новейшие достижения в философии, богословии и даже математике. Воодушевленный этой заинтересованностью Лейбниц в своих письмах и при деловых встречах с молодой королевой ярко и образно обсуждал с ней самые животрепещущие вопросы общественной жизни, новой науки и философии, а также политики и богословия. В процессе этих рассуждений он ввел точку (·) как символ умножения чисел (1698 г.), а также использовал двоеточие (:) как символ их деления (введенный еще в 1633 г. англичанином Джонсоном). Тесное духовное и интеллектуальное общение с королевой заменяло Лейбницу романтические отношения и естественное стремление к семейной жизни. Тем не менее, постепенно встречи и переписка с Софией приобретали всё более эмоциональный характер с обеих сторон, однако их взаимная любовь так и осталась платонической. История их отношений хорошо просматривается в их переписке (сохранилось около 164 писем, в действительности же их было значительно больше) и закончилась она только со смертью Софии в 1705 году. Потрясенный её смертью Лейбниц написал литературный памятник королеве в виде философского трактата «Теодицея», где изложил свою философско-религиозную концепцию Мироздания и отразил многие высказывания Софии по этим вопросам.