11.4.5. Математические результаты

Основной вклад в науку Роберваль сделал в области математики. Уже в первые годы членства в кружке Мерсенна он, по его совету, занялся изучением так называемого «парадокса Аристотеля», связанного с величиной пути, проходимого точками круга А и В за один полный оборот круга при его качении по плоскости (рис.11.5).

Занимаясь этой задачей около 6 лет, Роберваль детально изучил свойства циклоиды (тогда ее еще называли «рулеттой» или «трохоидой» – колесной кривой). Он вычислил ее площадь ( ) и объемы тел вращения, образуемых при вращении кривой вокруг горизонтальной или вертикальной оси. Также он впервые построил синусоиду в прямоугольных координатах (сам термин «синусоида» ввел О. Фабри в 1659 г.). Благодаря Робервалю, циклоида стала в XVII в. самой знаменитой кривой после конических сечений. На ее примере Роберваль дал механический способ построения касательной к циклоиде путем разложения вектора скорости точки А на две составляющих по правилу параллелограмма (рис.11.6).

Одновременно и независимо от Роберваля кинематический способ проведения касательных был обнаружен Э.Торричелли, за что Роберваль совершенно незаслуженно обвинил его в плагиате! Занимался этой задачей и Декарт, который в одном из писем к Мерсенну по поводу открытых Робервалем свойств циклоиды писал: «...не вижу, как можно поднимать такой шум по поводу открытия вещи настолько простой, что всякий, хоть немного знакомый с геометрией, не может не открыть ее, если только станет ее искать!». Естественно, что подобные замечания вызывали взаимную неприязнь ученых, которую и пытался уменьшить Мерсенн.

Не менее важный математический результат Роберваля связан с вычислением площадей плоских кривых и объемов тел вращения. Здесь его подход оказался весьма схож со знаменитым «методом неделимых» Кавальери, послужившим важной ступенью к открытию операции интегрирования. Лишний раз подтвердилась известная фраза о том, что новые идеи и открытия буквально «носятся в воздухе», если только появились необходимая почва и потребность.

Резюме: Происхождение и профессия Ферма, его теория экстремумов, спор с Декартом, открытие первого вариационного принципа. Аналитическая геометрия, переписка с Паскалем по поводу вероятностных задач. Увлечение «Арифметикой» Диофанта, проблемы и задачи теории чисел, Великая теорема. Роберваль, его общение и дружба с Мерсенном, особенности общения с другими учеными. Определение понятия силы, «весы Роберваля», «парадокс Аристотеля», задача о циклоиде, общий метод проведения касательных, подход к «методу неделимых». Споры о приоритетах с Торричелли, Декартом, Кавальери.

11.5. Паскаль – между наукой и верой

11.5.1. Детство вундеркинда

Блез Паскаль (1623 ─ 1662) родился в г. Клерман-Ферран во Франции в семье налогового чиновника Этьена Паскаля, происходившего из старинного дворянского рода, в котором нередко заключались межродственные браки. Возможно, это и стало причиной слабого здоровья, болезненности и ранней смерти Блеза. Отец Блеза, став юристом и купив себе должность резидента налоговой палаты в своем городе, был достаточно обеспеченным человеком. Продажа государственных должностей широко практиковалась во Франции уже с XVI в., принося казне до 50% ее прибылей! С 1604 г. купленные должности стали наследоваться (при уплате ежегодной пошлины в размере 1/60 от годового дохода). Начался бурный рост чиновничества, численность которого в некоторых городах составляла половину числа городских жителей. Это порождало коррупцию, скрытность, клановость и прочие социальные язвы. На этом фоне Этьен Паскаль представлял собой редкое исключение – он был честен и добросовестен, знал языки, историю, интересовался музыкой, науками и особенно – математикой. Участвуя в четвергах Мерсенна, он предложил и исследовал известную кривую 4-го порядка – «улитку Паскаля», представляющую собой конхоиду окружности, описываемую уравнением (х²+у²-ах)²=l² (х²+у²) или в полярных координатах (рис.11.7).

Его сын Блез оказался слабым и болезненным мальчиком, несколько раз находившимся на краю смерти. И, несмотря на свою просвещенность, отец ради спасения сына стал прибегать к услугам магов и колдунов. В то время в Европе бушевала эпидемия борьбы с демонами путем сожжения их «носителей», бичевания и изгнания нечистой силы. Так один из известных судей Франции тех лет Реми гордился тем, что за свою жизнь приговорил к сожжению около 900 колдунов и колдуний! Тогда же бушевали и чумные эпидемии, от одной из которых в 1626 г. скончалась и мать Блеза. Оставшись вдовцом с 3 детьми (Блез и две его сестры – Жильберта и Жаклин), Этьен Паскаль сам стал их воспитывать и обучать грамоте.

Маленький Блез, едва начав говорить, удивлял отца своими четкими вопросами и рассуждениями. Уже в 4 года лет он научился читать и писать и легко проделывал вычисления. Его феноменальные способности бросались в глаза всем окружающим, причем умственное развитие мальчика намного опережало его развитие физическое. Он почти не интересовался детскими играми и обществом сверстников, которое было для него просто неинтересным. Обладая поразительной для ребенка целеустремленностью и настойчивостью, он самостоятельно изучал книги, находя в них различные вопросы, а затем отыскивая в них же или самостоятельно необходимые ответы! Несомненно, он был вундеркиндом, причем вундеркиндом истинным, т.к. из него в дальнейшем сформировался гениальный ученый и мыслитель, что бывает довольно редко – обычно из среды вундеркиндов менее 10% становятся выдающимися людьми, такими как Моцарт, Пушкин, Гаусс, Эйлер. Остальные же, вырастая, достигают уровня средней талантливости, а то и того ниже. Надо признать, что талантами блистала вся семья Паскалей, начиная с отца Этьена. Так старшая сестра Блеза Жильберта проявляла незаурядный литературный талант и впоследствии слыла одной из умнейших женщин Франции. Она же стала первым биографом своего брата. Младшая сестра ─ Жаклин – имела поэтический дар, отмеченный самим Корнелем.

Отца семейства Этьена настораживало бурное интеллектуальное развитие сына и его стремление к математике. Чтобы как-то смягчить эту увлеченность, отец стал прятать от сына свои математические книги и поменьше говорить о математике вообще. Однако проблемы воспитания детей требовали все больше внимания и, в конце концов, Этьен решает целиком посвятить себя этому делу. С этой целью он в 1631 г. продает свою чиновничью должность и переезжает с детьми в Париж.

Первое впечатление 8-летнего Блеза при подъезде к Парижу, изложенное впоследствии в его центральном философском произведении «Мысли» – это жуткая вонь от свалок, окружавших город. Внутри города были улочки шириной в 1,5 – 2 м настолько темные, что даже днем в нижних этажах приходилось зажигать свечи. Но и здесь маленький вундеркинд увлеченно стремится к науке. В возрасте 9 лет он пишет свою первую научную работу – «Трактат о звуках»,где излагает свои детские соображения о распространении и затухании звука в твердых предметах, а также начинает все больше интересоваться геометрией. И здесь большую роль сыграл тот факт, что в Париже Этьен познакомился с кружком Мерсенна и стал его членом. Продолжая самостоятельно обучать детей, отец долго оттягивал знакомство Блеза с геометрией, хотя сын часто спрашивал его о ней. К отцу нередко приходили его коллеги по кружку Мерсенна и в присутствии 10 – 11-летнего мальчика обсуждали разные вопросы геометрии. И постепенно этот ребенок, рисуя на бумаге «колечки» и «палочки», начал сам открывать различные свойства геометрических фигур. Однажды отец застал его за доказательством теоремы о сумме углов треугольника. Пораженный его детскими, но строго логичными рассуждениями, он разрешил сыну доступ к «Началам» Евклида и трудам Архимеда, Аполлония и других античных математиков, а по достижении им 13 лет стал брать сына на «четверги Мерсенна». Там Блез сначала слушал, а затем и участвовал в обсуждениях математических задач и методов. Вскоре он начал сам ставить и решать геометрические задачи. В возрасте 15 лет Блез становится полноправным членом кружка, и отец заявил, что теперь « … не я его – он меня учит».

Обладая глубокой геометрической интуицией и проницательностью, Блез мгновенно чувствовал любые, даже мелкие ошибки в чужих работах и высказываниях. Заинтересовавшись на одном из заседаний работой члена кружка Ж. Дезарга ( 1537 – 1612) по проективной геометрии, он увлекся этим разделом и написал собственное исследование «Опыт о конических сечениях», которое и доложил вскоре на заседании кружка. Этот доклад вызвал бурный восторг Мерсенна и других членов кружка, заявивших во всеуслышание, что работа 16-летнего вундеркинда перекрывает классические результаты Аполлония. Правда Декарт, отличавшийся желчным и ревнивым характером, долгое время утверждал, что это работа не сына, а отца! То была первая, но далеко не последняя стычка Блеза с Декартом. В 1640 г. 17-летний Блез, дополнив и углубив свою работу, печатает ее в виде афиши, предназначенной для расклейки на стенах домов – такой способ публикации был характерен для эпохи открытых диспутов. Из изданных 50 экземпляров афиши, содержавшей 53 страницы текста, до наших дней сохранились лишь 2, хранящихся в музеях Франции. Центральное место в этой работе занимает так называемая «теорема Паскаля» (как назвал ее Мерсенн), гласящая, что если в любое коническое сечение вписать произвольный 6-угольник с вершинами 1…6, то прямые (1-2) и (4-5), (2-3) и (5-6), (3-4) и (6-1) пересекаются друг с другом в точках, лежащих на одной прямой – «прямой Паскаля» (рис.11.8).

Сам Блез доказал теорему для окружности, остальные же конические сечения трактовал как ее проекции! Из этой теоремы Блез получил около 400 различных следствий. Одно из них состоит в том, что любое коническое сечение определяется своими 5-ю точками. Впоследствии (через 15 лет) он написал капитальный «Полный труд о конических сечениях», который уже после его смерти в 1675 г. в рукописи прочитал и высоко оценил Лейбниц, рекомендовавший его к опубликованию. Однако этот труд затерялся.