11.4.3. Теория чисел

Самой любимой и успешной областью математики для Ферма с молодых лет и до последних дней оставалась другая ее область – теория чисел. Познакомившись еще в молодости со знаменитой книгой последнего великого греческого математика Диофанта «Арифметика», он больше никогда не расставался с ней. В ней автор собрал сотни античных задачи и их решений, отражающих тысячелетнее развитие теории чисел от Пифагора и до момента гибели Александрийской библиотеки. В эпоху Возрождения, до которой дошли лишь 6 из 13 томов «Арифметики», ее перевел на латынь и издал энтузиаст и популяризатор математики Баше де Мезириак (1587 – 1638), известный как автор сборника задач-головоломок. Только такой человек как он мог оценить глубину и содержательность книги Диафанта, и изданная им в 1621 г. «Арифметика» действительно сыграла выдающуюся роль в становлении европейской математики.

При первом прочтении этой книги Ферма изучил поставленные задачи и их решения, затем стал конструировать для них собственные решения и доказательства и, в конце концов, начал составлять аналогичные собственные задачи, теоремы и комментарии, записывая их на полях самой книги, благо, что поля эти оказались достаточно широкими.

Одно из первых открытий Ферма в теории чисел связано с т.н. «дружественными числами», обнаруженными пифагорейцами почти 2000 лет назад. Они установили, что имеются два числа 220 и 284, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Делители числа 220 есть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, и их сумма равна 284. Делители числа 284 есть 1, 2, 4, 71, 142, и их сумма равна 220. В Средневековье даже имело место хождение талисманов с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению взаимной любви. В 1636 г. Ферма нашел еще пару дружественных чисел – 17296 и 18416. Вскоре Декарт открыл третью пару – 9363584 и 9437056, а через столетие Эйлер увеличил число таких пар до 62 штук. Интересно заметить, что никто из них не заметил гораздо меньшую пару – 1184 и 1210 – обнаруженную в 1866 г. 16-летним итальянцем Паганини (не скрипачом!)

Стоит упомянуть и об одной теореме Ферма, оказавшейся ошибочной. В одном из замечаний на полях диофантовой «Арифметики» он предложил следующую форму для простых чисел (т.н. «чисел Ферма»):

(11.4)

которую проверил для n 4. Однако через 100 лет Эйлер показал, что при n = 5 получается составное число, имеющее делитель 641. Еще одним интересом Ферма был поиск уникальных чисел. Одним из них оказалось число 26, расположенное между квадратом – 25 и кубом – 27. Доказав, что других подобных чисел не существует, Ферма предложил решить эту проблему математическому сообществу, что оказалось очень и очень непростым делом. Одним из популярных увлечений математиков Средневековья было составление т.н. «магических квадратов», которые нередко использовались в качестве талисманов. Не остался в стороне от них и Ферма, отправивший в 1640 г. Мерсенну «окаймленный» магический квадрат с 14² ячейками, который оставался магическим даже после удаления из него определенного «кольцевого» слоя.

Однако самым трудным делом оказалось доказательство т.н. «Великой теоремы Ферма», гласящей, что уравнение хⁿ + yⁿ = zⁿ имеет решение в целых числах только при n 2. Сформулировав эту теорему в 1637 г. прямо на полях диафантовой «Арифметики», Ферма приписал рядом загадочное утверждение : «я открыл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги для него слишком узки». Эта чрезвычайно простая по формулировке задача привлекла внимание очень многих математиков, но видимая простота оказалась обманчивой. Почти 100 лет она оставалась совершенно неприступной. Первый успех был достигнут Эйлером, который доказал эту теорему для n=3 и 4 (для n=4 набросок доказательства имеется и у самого Ферма). Следующий результат был достигнут Дирихле (n=5 и 14), затем Ламе (n=7) и, наконец, Куммером (для целого ряда значений n). Окончательное же доказательство «Великой теоремы Ферма» было получено только в 1994 г. американским математиком Э. Уайльсом с использованием самых современных методов и теорий. Текст этого доказательства занял 129 страниц в журнале «Annals of Mathematics» (1995), а его автор получил за это доказательство премию в $50 тыс. Выдающаяся роль «Великой теоремы» состояла в том, что за 358 лет своего недоказанного существования она породила огромное количество новых математических результатов в разных сферах математики, хотя, вместе с тем, заняла 1 место и по числу неверных доказательств.

Со смертью Ферма могли бы исчезнуть и все его драгоценные рукописи. Этого не произошло только благодаря его старшему сыну Клемант-Самюэлю (у Ферма было 3 сына и 2 дочери), который, будучи по образованию, как и отец, юристом (фактически же он увлекался поэзией и некоторыми науками), сумел оценить, сохранить и издать его рукописное наследие. Этой работой он занимался около 5 лет и в 1670 г. выпустил в свет специальное издание «Арифметики» под новым названием «Диофанова «Арифметика», содержащая примечания П. де Ферма». В ней рядом с авторским (Диофановым) текстом напечатаны и 48 примечаний, заметок и комментариев Ферма. Эти примечания стали той «золотой жилой», которая надолго притянула внимание ведущих математиков Европы. Так в одном из примечаний Ферма сформулировал свою «теорему о простых числах», которая спустя 100 лет привлекла внимание Эйлера. Он доказал ее после 7 лет работы, хотя Ферма упоминает, что она им доказана! Суть этой теоремы состояла в том, что все простые числа представимы в одной из двух форм: 4n+1 и 4n-1, где n – целое. Числа первой группы представимы в виде суммы двух квадратов (13 =4·3+1 = 2² + 3²), а второй – нет. Следует также упомянуть о том, что хорошо известное в теоретической арифметике уравнение Пелля: х² = Ау² + 1, где А – натуральное число, не являющееся квадратом, также было впервые изучено Ферма, который еще в 1637 г. указал, что оно имеет бесчисленное множество решений. К сожалению, в XVIII веке Эйлер почему-то приписал этот результат английскому математику Дж. Пеллю, под именем которого уравнение Ферма и вошло в науку.