11.4.2. Открытие вариационного принципа

Ссылка на «Диоптрику» Декарта связана с тем, что когда она вышла в свет (1637 г.), то Ферма, увидев в ней утверждение автора о том, что в более плотной среде свет распространяется со скоростью большей, чем в менее плотной, подверг его резкой критике. Время и последующие исследования самого Ферма полностью подтвердили эту критику. Однако Декарт отказывался признать свои заблуждения.

Заинтересовавшись изложенной в «Диоптрике» задачей, Ферма выдвинул прямо противоположную гипотезу и в 1662 г. решил на этой основе задачу о преломлении света на границе двух сред. В работе «Синтез для рефракции» он идет дальше и выдвигает гораздо более общий принцип – принцип наименьшего времени, – получивший впоследствии наименование «принцип Ферма». В современных обозначениях он гласит, что истинное движение светового луча между точками А и В минимизирует интеграл , где v – скорость света. Этот принцип явился первым вариационным принципом физики и он лег в основу вариационного исчисления, окончательно сформулированного лишь 100 лет спустя в работах Эйлера, Мопертюи, Лагранжа.

Еще одной сферой соперничества Ферма и Декарта стала аналитическая геометрия, основы которой были заложены в известном письме Ферма Мерсенну от 1636 г., озаглавленном «Введение к плоским и телесным местам». В нем автор впервые предлагает графически изображать уравнения с двумя неизвестными некоторой кривой на плоскости с двумя осями отсчета, причем не обязательно ортогональными. В частности, он установил, что линейные уравнения описывают прямые и плоскости, а квадратичные – конические сечения и тела и т.д. Аналогичный прием, но с использованием ортогональной системы осей, был опубликован в «Геометрии» Декарта, вышедшей в 1637 г. В математическую практику вошла декартова система, возможно ввиду своей большей наглядности. Немалую роль в этом, видимо, играла и более простая система алгебраических обозначений, предложенная Декартом: x,y,z – неизвестные, a,b,c – известные, а·а = а², а·а·а = а³ и т.д., тогда как в письмах Ферма применялась менее удобная символика Виета. Основную роль, разумеется, сыграло отсутствие открытых публикаций работ Ферма, т.к. его письма Мерсенну не могли обеспечить быстрого и широкого ознакомления европейских математиков с его идеями, задачами и теоремами.

Несмотря на настойчивые просьбы Мерсенна, Ферма отказывался от открытых публикаций, демонстрируя полное отсутствие честолюбия и жажды признания. Но при этом он был не чужд озорству: так, направляя коллегам письма с формулировками своих последних теорем, он неизменно умалчивал об их доказательствах, предоставляя им самим получить таковые. Это раздражало многих его современников: так англичанин Джон Валлис называл его в сердцах «проклятым французом». По сложившейся на континенте традиции именно англичан Ферма поддразнивал с наибольшим удовольствием. Из этого общего правила у Ферма было лишь одно исключение – это прямая переписка (минуя Мерсенна) с Б.Паскалем по поводу решения одной вероятностной задачи, связанной с игрой в кости. Эта задача была предложена Паскалю профессиональным игроком в кости шевалье де Мере, и она состояла в оценке вероятности выигрыша у игроков в кости при незаконченной партии. Паскаль и Ферма стали независимо друг от друга и разными путями решать эту задачу, не поддававшуюся другим математикам, и пришли к совершенно идентичным результатам! После этой своеобразной «дуэли» двух выдающихся математиков XVII в. Паскаль в одном из своих писем Мерсенну назвал П. Ферма «первым в мире по талантливости в различных областях знаний». Этот факт убедил математиков, что и законы случая могут быть описаны строгими математическими соотношениями, и, по существу, положил начало новой ветви математики – теории вероятностей.