11.4. Ферма и Роберваль ─ предтечи математического анализа

Пьер Ферма (1601 ─ 1665) родился в небольшом гасконском городке Бомон-де-Ломань в семье торговца кожевенными товарами, ставшего позже помощником мэра. Мать Пьера была преподавательницей математики. Окончив монастырскую школу, в которой талантливый подросток выучил 4 европейских языка, а также приобрел серьезные познания в античной культуре, он поступил в Тулузский университет на юридический факультет и, закончив его в 1630 г., начал адвокатскую деятельность. Несмотря на то, а возможно, и благодаря тому, что эта деятельность была весьма успешной, он в 1631 г. переходит на госслужбу в судебный парламент Тулузы, где и прослужил, постепенно поднимаясь по служебной лестнице, вплоть до своей внезапной кончины 12.01.1665 г. Семейная жизнь Ферма сложилась достаточно благополучно ─ женившись в 1631 г. на дочери советника этого же парламента (возможно, этим и объяснялся переход Ферма на госслужбу), он вел размеренную жизнь благополучного буржуа, если не считать его тяжелого заболевания чумой в 1652 г. во время чумной эпидемии, охватившей Францию. К счастью, он выжил и даже, благодаря эпидемии, продвинулся выше по служебной лестнице, т.к. из-за высокой смертности многие ее ступеньки освободились.

Будучи хорошо обеспеченным и весьма уважаемым в городе человеком, Ферма помимо своей профессиональной юридической деятельности начал активно интересоваться античной наукой. Особый интерес у него вызвала античная математика, освоение и продолжение которой стало важным направлением работы многих европейских ученых XVI – XVII вв. Контакты с кружком Мерсенна постепенно ввели Ферма в круг европейских математиков и способствовали расцвету его выдающегося математического таланта. В результате математическое хобби начало перерастать во вторую профессию, которая, в конце концов, принесла Ферма европейскую и мировую известность, а также неофициальное звание «Короля любителей».

11.4.1. Начало теории экстремумов

Обладая незаурядным умом и выдающимися математическим способностями, Ферма сначала лишь постигал логику математических рассуждений Паппа, Евклида, Аполлония, Диофанта, но затем стал искать и самостоятельные пути постановки и решения аналогичных проблем. Уже в 1629 г. в одном из писем к Робервалю Ферма (через Мерсенна) сообщает об открытии им нового метода отыскания максимумов и минимумов функций. В основе этого метода лежало то соображение, что по обе стороны от точки экстремума функция f(х) проходит через одинаковые значения (рис.11.3).

Используя разложение f(х) в степенной ряд (этот прием был основным методом исследования функций в XVII в.) f(x+h) = f(x)+hA(x)+h²D(x)+…, Ферма учитывает равенство f(x+h) = f(x), после чего, сокращая общий множитель h и пренебрегая оставшимися слагаемыми, содержащими h, приходит к необходимому условию экстремума А(х) = 0. Позднее он выясняет, будет ли этот экстремум максимумом, минимумом или точкой перегиба. По существу Ферма исследует функцию , но при этом считает h конечной величиной (предельный переход h 0 был 40 лет спустя намечен учителем Ньютона И. Барроу и окончательно узаконен Лейбницем). Однако даже в такой несовершенной форме новый метод позволил автору решить целый ряд экстремальных задач, а также установить его связь с методами проведения касательных к кривым и с методами вычисления квадратур. Так уже к началу 40-х годов Ферма мог вычислять квадратуры парабол вида х^р = Ау^q; х^ру^q = С. Полностью эти взаимосвязи были выявлены Ньютоном и Лейбницем, создавшими на этой основе дифференциальное и интегральное исчисление.

Несмотря на то, что Ферма практически не публиковал своих работ, ограничиваясь письмами к Мерсенну, а через него и к ряду других европейских математиков, открытый им метод отыскания экстремумов приобрел в Европе широкую известность, и многие авторы стали его использовать в своих работах и публикациях. Естественно, такая известность не могла пройти гладко. Так крайне негативную реакцию со стороны Декарта вызвала итоговая работа Ферма «Об отыскании максимумов и минимумов», посланная Мерсенну и переданная им Декарту 10.01.1638 г. Декарт ответил Мерсенну, что Ферма «... это тот человек, который ранее пытался опровергнуть мою «Диоптрику» и послал это [статью] с целью вступить в соперничество и показать, что он в этом знает больше, чем я...». Полемика Ферма и Декарта длилась почти два года (1637 ─ 1638 г.г.) и, разумеется, завершилась не в пользу Декарта, которому не оставалось ничего другого, как обозвать Ферма «хвастуном».