10.4.2. Овалы Кассини

Законы планетных движений, открытые Кеплером, далеко не сразу завоевали признание современников, ─ оно пришло лишь после выхода в свет в 1686 году ньютоновских «Начал». Поэтому некоторые авторы, в том числе и Дж. Кассини, не признававший ньютонову теорию тяготения, пытались построить иные, более точные орбиты планет, чем эллиптические. Имея в виду, что эллипс, это кривая, у всех точек которой постоянна сумма расстояний до двух фиксированных центров (фокусов), Кассини в 1680 году придумал альтернативную кривую, у точек которой постоянна не сумма, а произведение этих расстояний. В декартовых координатах х, у уравнение такой кривой, имеет вид:

(10.1)

где а - половина расстояния между фокусами, а b - произведение расстояний до них. На рис.

показаны 4 различных формы этих кривых, получивших название «овалы Кассини», из которых только первая (а) может претендовать на роль планетной траектории. По расчётам Кассини, в некоторых случаях она более точно аппроксимирует планетную орбиту. Однако появление законов Ньютона фактически закрыло овалам Кассини путь в астрономию. Тем не менее, они вошли в арсенал математических кривых, имеющих практическое происхождение: их можно интерпретировать как сечения кругового тора плоскостями, параллельными его оси симметрии. Особую популярность получила модификация (в), которую в 1694 году описал знаменитый И.Бернулли, не зная о том, что она на 14 лет раньше была предложена и изучена Дж. Кассини. В математике эта кривая носит название «лемниската Бернулли» и она получила большую известность благодаря тому свойству, что площадь каждого её лепестка есть S = a². Видно, что как и в луночках Гиппократа, здесь площадь криволинейной фигуры выражается рациональным образом через параметр а.

В заключение нельзя не упомянуть и об одной замечательной формуле для чисел Фибоначчи, полученной Дж. Кассини:

, (10.2)

которая справедлива для n = 0, ±1, ±2, ±3 и т.д. Подводя итог научным достижениям Кассини нельзя упускать из виду и ряд его отрицаний и заблуждений. Он,как истовый католик не мог смириться с системой Коперника-Кеплера, всячески отгораживаться от признания ньютонова закона тяготения, не признавал открытие Ремером конечной скорости света и, наконец, утверждал, что фигура Земли не сплюснута, а вытянута вдоль своей оси вращения.

Следует заметить, что маститый астроном был не чужд и земным проблемам. В 50-е годы XVII в. он участвует в изучении русла реки По, и по представлению папы Римского, делает планировку укреплений крепости Урбан на ее берегу. Позднее в 1700 году он, будучи уже в преклонном возрасте, вместе со своим сыном Жаком измерял длину парижского меридиана на территории Франции. Продолжая исследования отца, Жак Кассини изучал орбиты спутников, структуру колец Сатурна, а также начал наблюдения и измерения собственных движений звезд. После кончины отца он возглавил Парижскую обсерваторию, и вплоть до XIX века ее директорами оказывались члены династии Кассини. Кроме Жака астрономией занимались и внучатые племянники Дж. Кассини – Кассини де-Гюри и его двоюродный брат Кассини де Тюри, а также его двоюродный брат Доминик Маральди. Все они были французскими учёными, и глубоко почитали своего великого итальянского предка. На основе данных, полученных в ходе измерительных экспедиций по территории Франции и за её пределами, Кассини де-Тюри начал составление генеральной карты Франции. Однако он умер, не успев закончить эту работу, а завершил её уже в конце XVIII века его сын Жан-Доминик. Эта карта оказалась настолько точной и практичной, что произвела фурор в картографии, став образцом для многих последующих карт аналогичных масштабов, получив название «Карта Кассини».

Умер Дж. Кассини в Париже 14.09.1712 года в возрасте 87 лет, будучи уже совершенно слепым, но глубоко уважаемым человеком. Имя Кассини занесено на современные карты Луны, Мареа и спутник Сатурна ─ Япета.

Резюме: От астрологии к астрономии, профессорство в Болонском университете, определение периодов вращения планет. Таблицы эфемерид спутников Юпитера, членство в Парижской академии, открытие спутников Сатурна. Щель Кассини, законы Кассини, овалы Кассини, их свойства, формула Кассини. Продолжатели династии Кассини.