10.3.5. Ученики и последователи

Ввиду жесточайшей клерикальной цензуры и надзора, в условиях которой жил и работал великий ученый, ему трудно было работать с учениками. Тем не менее, в последние два года жизни у него появляются два талантливых помощника: Э.Торричелли и В.Вивиани.

Эванджелиста Торричелли (1608 – 1647) окончил медицинскую школу, где уже в юности блистал своими способностями. В возрасте 18 лет опекун (его дядя) направил юношу в университет Sapienza («Мудрость») в Риме, где его наставником, а затем и другом стал 50-летний Б.Кастелли, ученик и друг Галилея. И здесь Торричелли быстро выдвинулся в число лучших. Вскоре (1632 г.) вышел в свет знаменитый трактат Галилея «Диалоги», вызвавший ожесточенные нападки церковников. Ища поддержки у друзей, Галилей отправил письмо Кастелли, на которое ответил его секретарь Торричелли. В ответе он пишет о своем интерес к книге Галилея и сообщает о своих занятиях математикой. Увлекшись идеями Галилея, Торричелли написал книгу «О движении», в которой решил ряд задач о полете пушечного ядра. И, в частности, открыл огибающую параболу для семейства баллистических траекторий. Понятие огибающей до этого упоминалось только у Аполлония, однако в новой эпохе оно впервые было предложено именно Торричелли. Полная теория огибающих была дана Клеро только через 100 лет!

Рукопись книги Кастелли отвез Галилею и последний пригласил Торричелли к себе в ассистенты(1641 г.). Однако в 1642 г. Галилей умер, и Торричелли был назначен на его должность под названием «Философ и первый математик великого герцога Тосканского», на которой он и оставался вплоть до своей безвременной кончины в 1647 г. Одновременно он был профессором математики Флорентийского университета.

Будучи в соответствии с духом времени весьма разносторонним человеком, Торричелли оставил яркий след в различных областях знаний. В чистой математике он прославился вычислением ряда квадратур и кубатур. Особую известность получило вычисление объема «острого гиперболоида», полученного путем вращения гиперболы вокруг оси y. Получающийся здесь интеграл является несобственным, и Торричелли впервые удалось его вычислить за счет остроумного перехода к пределу. Кроме того, он нашел длину логарифмической спирали и разработал (независимо от Роберваля) кинематический метод построения касательной к некоторым кривым. Развивая динамические идеи Галилея при g = const установил, что скорость точки v и её путь s связаны соотношением . Присоединяя сюда равенство Галилея , Торричелли доказал, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны, по крайней мере, для равноускоренного движения. В процессе вычисления различных интегралов Торричелли установил и формулы для вычисления центра тяжести плоских фигур. Наряду с Кавальери и Вивиани (учеником и первым биографом Галилея) он занимался изучением известной «задачи Вивиани» о нахождении в треугольнике точки, сумма расстояний от которой до его вершин минимальна. Пользуясь механической интерпретацией этого решения, установил, что из неё все стороны треугольника должны быть видимы под углом 120 градусов. Эта точка получила название «точка Торричелли». На этой основе он выдвинул хорошо известный в механике «принцип Торричелли» гласящий, что в положении устойчивого равновесия механической системы, находящейся в поле сил тяжести, её центр тяжести должен занимать наинизшее возможное положение.

Однако наибольшую известность в науке прибрело понятие «торричеллиевой пустоты». Началом этой истории послужило строительство садовых фонтанов в имении герцога Козима Медичи во Флоренции. Установив трубы с поршнями, тянувшими воду вверх, инженеры с удивлением увидели, что выше 34 футов (примерно 10 метров) вода за поршнем не поднималась, как должна была бы, согласно учению Аристотеля («природа боится пустоты»). Обратились за объяснениями к Галилею, однако престарелый ученый лишь ответил: «видимо боязнь пустоты не распространяется выше 34 футов». История об этом конфузе распространилась на всю Европу и, в конце концов, Паскаль нашел правильный ответ. Однако свою роль здесь сыграл и опыт Торричелли, который остроумно упростил проблему, используя вместо воды ртуть в стеклянной трубке. Свой знаменитый опыт он вместе с Вивиани провел в 1643 г. уже после смерти Галилея. Учитывая, что ртуть в 13.3 раза тяжелее воды Торричелли догадался, что высота её подъема будет в 13.3 раза меньше, чем для воды. Опыт блестяще подтвердил этот прогноз. Образующееся в трубке пространство впоследствии было названо «торричеллиевой пустотой», хотя это не пустота, а некоторая «тонкая субстанция» или ртутные испарения. Сам Торричелли полагал, что это пустота, хотя окончательное доказательство этого дал только Паскаль. Так Торричелли стал изобретателем ртутного барометра. Ему же принадлежит вывод известной формулы для скорости истечения жидкости из отверстия в сосуде , где h ─ высота ее уровня над отверстием.

Винченцо Вивиани (1623 ─ 1703), будучи учеником и последователем Галилея, приобрел известность после удачной попытки восстановления 5-й книги «Конических сечений» Аполлония, в которой рассматривались вопросы нахождения максимумов и минимумов. Отсюда и возникла упомянутая «задача Вивиани». Именем Вивиани названа также изученная им пространственная кривая, полученная пересечением цилиндра диаметром D с шаром диаметром 2D, если центр шара лежит на поверхности цилиндра. В историю науки он вошел так же как изобретатель ртутного барометра. Вивиани стал первым биографом Галилея и в 1693г., через полвека после смерти учителя, когда клерикальная антигалилеевская истерия несколько Утихла, поставил возле его дома бюст ученому с соответствующей надписью. Перед своей смертью он завещал 4000 скудо на памятник, Галилею, который и был воздвигнут в 1737 году после перезахоронения праха ученого в мавзолее церкви Санта Кроче.

Говоря об учениках Галилея нельзя не упомянуть имени Бонавентуры Кавальери (1598 ─ 1647), который хотя и не являлся непосредственным учеником или сотрудником мастера, тем не менее, называл его своим учителем, а себя – его продолжателем. Обладая выдающимися способностями и будучи выходцем из знаменитого миланского рода, Кавальери получил прекрасное монастырское образование. Однако к концу обучения он увлекся естественными науками и в возрасте 23 лет, следуя Архимеду и Галилею, занялся вычислением квадратур и кубатур, заложив основы своего будущего метода – метода неделимых, обессмертившего его имя.

В 1629 г., благодаря поддержке Галилея, Кавальери занял кафедру астрономии в Болонском университете, на которой и оставался вплоть до своей ранней смерти. Именно на этой кафедре он написал почти все свои математические труды. Так в 1632 г. выходят в свет его книги по основам логарифмической тригонометрии и по использованию теории конических сечений в геометрической оптике. Позднее в 1639 ─ 1647 гг. был издан ряд его сочинений по использованию логарифмов в астрономии, гномонике, тригонометрии, геометрии. Однако его важнейшими трудами оказались трактат «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635) и «Шесть этюдов по геометрии» (1647), в которых автор, развивая квадратурные идеи Архимеда, Кеплера и Галилея, разработал собственную методику построения интегральных сумм, характеризующих значение того или иного интеграла. В основу этой методики Кавальери положил идею мысленного «разрезания» данной функции на некие «неделимые» полоски «нулевой» ширины (или тела на «неделимые» листочки) с целью их последующего суммирования путем сопоставления этих «неделимых» с другой системой неделимых, подобной данной. На этом пути он сумел вычислить целый ряд определённых интегралов, заинтересовав своим подходом многих математиков и приобретя на ближайшие 50 лет великих последователей, трудами которых и было создано интегральное исчисление. Высокую оценку «методу неделимых» дал Э.Торричелли: «Новая теория неделимых проходит через руки ученых как чудо науки и показала миру, что века Архимеда и Евклида были порой младенчества для нашей зрелой геометрии». На основе своих результатов Кавальери доказал известные теоремы Гульдина, которые были известны еще Паппу Александрийскому и которые ныне именуются как теоремы Паппа-Гульдина (это теоремы о вычислении площади поверхности и объема тел вращения). Пауль Гульдин (1577 ─ 1643) – бельгийский математик, а вместе с тем, монах-иезуит, издавший в 1640 –1641 гг. ряд книг под названием «О центре тяжести».

Резюме: Галилей – основоположник экспериментальной физики. Его опыты по теории маятника и движению падающих тел. Инженерные изыскания и теория изгиба балок. Изобретение телескопа и начало оптической астрономии. Астрономические открытия Галилея в его трудах «Звездный вестник» и «Диалоги о двух главных системах Мира». Начало церковных гонений, суд и ссылка учёного. Возвращение к экспериментальной механике и его итог ─ «Беседы о двух новых науках». Торричелли, Вивиани и Кавальери – ученики и последователи великого ученого.