9.3.3. Формулы Кардано

Джироламо Кардано (1501 – 1576) – одна из ведущих фигур итальянского Возрождения, наделенная как разнообразными талантами, так и множеством внутренних противоречий, порождавших трагические повороты в его жизни и творчестве. У своего отца – известного и широко образованного юриста Фацио Кардано – он был незаконнорожденным и очень поздним сыном (отцу уже исполнилось 56 лет), что в дальнейшем создавало немалые помехи его карьере. Для его матери, ревностной католички, рождение внебрачного сына также стало тяжёлым событием, отнюдь не вызвавшем любви к нему (от её побоев он дважды чуть не умер в младенчестве). В автобиографической книге «О моей жизни», написанной в течение последнего года его жизни, Кардано подробно описывает своих родителей, свои детские и отроческие ощущения и размышления, отводя большое место мистическим переживаниям. Проводя критический анализ своих надежд и желаний в различные периоды жизни, он говорит о важной роли предзнаменований и собственных астрологических предсказаний относительно себя и многих других известных людей (в зрелые годы он был астрологом самого папы Римского и даже составил гороскоп Христа, за что отсидел некоторое время в тюрьме). Веря в чудеса, нечистую силу и божественные знамения, Кардано верил также и в свои сверхъестественные возможности, в предопределенность своей жизни.

С детских лет в нем возникло и нарастало желание увековечить свое имя, сделав его известным возможно большему числу людей. Под влиянием этих устремлений он получил медицинское образование в Падуанском университете, однако неполноценность рождения закрыла ему доступ в коллегию врачей Милана. Поэтому он долгое время жил и работал в провинции, где постепенно приобрел славу одного из лучших врачей того времени. В автобиографии он утверждал, что постиг приемы излечения 5 тысяч тяжелых болезней и за свою долгую врачебную практику имел лишь 3 врачебных неудачи. Обращаясь к истории, он сопоставлял себя с такими личностями, как Гиппократ, Гален, Авиценна. В конце концов, уже в 1539г. он был официально принят в коллегию врачей, и даже стал ее ректором, причем для него были скорректированы правила приема.

Несмотря на то, что себя Кардано считал выдающимся врачом и проницательным диагностом, он проявлял глубокий интерес к таким новым направлениям культуры как математика, механика, техника и др. (общим числом около 10), причем он не только изучал их, но и сам участвовал в их развитии. Став энциклопедически образованным ученым, причем ученым-одиночкой (что было характерной чертой эпохи Возрождения), Кардано начал писать книги по самым разнообразным предметам. В результате он в 22 года становится профессором математики в Павии, а в 25 лет – доктором медицины в Падуе.

Наибольшую популярность у современников получили его книги по этике, философии и психологии, хотя для потомков более важными оказались его научно-технические описания и предложения. Среди них имеются соображения о невозможности вечного движения, о том, что морские приливы вызываются действием Солнца и Луны (здесь Кардано поддерживает и углубляет концепции эллинизма), проводится различие в силах магнитного и электрического притяжения, намечаются элементы принципа возможных перемещений в механике. Энциклопедия Кардано «О тонких материях», переведенная на французский язык, в течение всего XVII века служила популярным учебником по статике и гидростатике. Одно из остроумных замечаний Кардано об измерении коротких интервалов времени использовал молодой Галилей, когда, стоя в соборе, измерял период колебаний соборной люстры путем подсчета ударов своего пульса.

Не чужд был Кардано и физическим экспериментам, в результате которых он, в частности, установил, что плотность воды в 500 раз выше плотности воздуха. Наконец, его именем названо знаменитое механическое устройство – карданов подвес (карданный вал, карданное сочленение), которое нашло широкое применение в машинах и механизмах. Хотя идея этого устройства была известна и ранее (у Филона Византийского в IIIв до н.э., в чертежах Леонардо да Винчи), только Кардано сумел удачно применить его для стабилизации королевской кареты Карла V при движении ее по неровной дороге (1541г.). Также он много занимался изучением и конструированием часовых механизмов, широко используя понятие передаточного отношения в зубчатых передачах. Им же дано одно из первых описаний ветряной мельницы как машины, преобразующей движение.

Личностные качества Кардано были далеко не однозначны: он был вспыльчив, азартен, увлекался игрой в шахматы и в кости. Продуктом этой страсти стала «Книга об игре в кости», написанная в 1526г., но напечатанная только в 1663г. В ней изложены элементы теории вероятностей, комбинаторики и психологии игроков (которую автор иллюстрирует на собственном примере). Будучи признанным астрологом, он очень доверительно воспринимал свои предсказания и, согласно одной из версий, заранее предвычислил дату своей кончины. Когда же ожидаемая кончина не наступила, он перестал принимать пищу и уморил себя голодом.

В семейной жизни он также вряд ли был счастлив: в 30 лет он женился, а в 46 лет овдовел, оставшись с дочерью и двумя сыновьями, причем позднее один из его сыновей был казнен (за отравление из ревности своей супруги), а другой, став бродягой, ограбил собственного отца.

Согласно документальным данным, конец жизни Кардано был тяжелым – в 1570г. он по приговору суда инквизиции несколько месяцев просидел в тюрьме, а его имущество было конфисковано (по-видимому, за его астрологические предсказания). Ожидая ареста, он уничтожил около 120 своих рукописных книг. Однако в течение последнего года жизни Кардано отважился написать автобиографическую исповедь, ставшую литературным памятником XVI века (имеется русский перевод от 1938г.).

Самой знаменитой книгой Дж. Кардано стал трактат «Великое искусство», вышедший в свет в 1545г. История этой книги началась в 1537г., когда Кардано изучив «Сумму арифметики» Л. Пачиоли решил написать ее продолжение под названием «Практика общей арифметики». Однако до него дошли слухи о мастерстве Тартальи в решении кубических уравнений, которые Пачиоли считал неразрешимыми. Чтобы украсить свой первый математический труд новыми результатами, Кардано неоднократно встречается с Тартальей, безуспешно пытаясь узнать тайну его решения. В конце концов, Тарталья в марте 1539года сообщает ему эту тайну (причем в стихотворной форме), но при этом требует, чтобы Кардано никогда и никому ее не разглашал, т.к. планирует сам опубликовать найденное решение в книге по алгебре. Кардано дает клятву о неразглашении и с энтузиазмом начинает проверять и распространять полученное решение на другие формы кубического уравнения, выходящие за рамки уравнений (9.2). При этом он устанавливает, что в т.н. «неприводимом случае» (когда уравнение имеет три действительных корня) формулы Тартальи непригодны. Сообщив об этом Тарталье, Кардано «впал в немилость» с его стороны и прямые контакты между ними прекратились. Тем не менее, Кардано напряженно исследует все возможные случаи и формы записи кубического уравнения, впервые в Европе допуская существование у него как отрицательных («фиктивных»), так и мнимых («софистических») корней, которые хотя и были по его мнению лишены смысла, тем не менее, оказывались удобны в вычислительной практике. Например, с их помощью можно разложить вещественное число на софистические множители: . Появившийся у него блестящий ученик Луиджи Феррари (1522 – 1565) принял активное участие в этих исследованиях и даже пошел дальше своего учителя, построив решение уравнения 4-й степени.

В 1543г. Кардано вместе с Феррари отправились в Болонью, где, встретившись с родственником покойного дель Ферро, смогли ознакомиться с архивом последнего, в котором оказалось и знаменитое решение кубического уравнения. Некоторые историки даже считают, что и Тарталья не переоткрыл это решение самостоятельно, а добыл его из архива дель Ферро. Кардано никогда не присоединялся к этому мнению, однако по каким-то мотивам счел возможным нарушить данную Тарталье клятву о неразглашении. В результате в 1545г. он издает свою знаменитую книгу «Великое искусство или о правилах алгебры», в которой дает развернутое изложение способов решения алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени. Эта книга произвела большое впечатление на современников, обозначив решающий прорыв европейской математики за пределы античного знания. Приведенные же в ней формулы стали с этого времени именоваться формулами Кардано (для уравнения 3-й степени) и формулами Феррари (для 4-й степени).

Естественно, что когда Тарталья увидел эту книгу, он пришел в ярость и в последней части своей книги «Различные проблемы и изобретения», вышедшей в 1546 г., обрушился на Кардано с упреками в невежестве и обвинениями в плагиате. В защиту своего учителя выступил Феррари, пригласив Тарталью на публичный диспут по «геометрии, арифметике или связанным с ними дисциплинам таким, как астрология, музыка, космография, перспектива, архитектура и др.», а также по работам самого Тартальи. На этом диспуте, состоявшемся 10.09.1548г. в Милане, Кардано не присутствовал, но его молодой и блестящий ученик, вызвавший симпатию у зрителей, легко одержал победу над мрачным и косноязычным Тартальей. К сожалению, этот диспут оказался последним научным деянием Феррари, который после победы в диспуте возглавил налоговое управление, позднее стал воспитателем сына короля, отойдя от науки, и умер в возрасте 43-х лет, якобы, будучи отравлен своей сестрой. Тарталья же после поражения перестал читать лекции, ограничившись написанием «Общего трактата о числе и мере», вышедшего уже после его смерти в 1557г. Однако никакого упоминания о задуманной им «новой алгебре» там не было.

Что касается самого Кардано, то он пережил и Тарталью и Феррари, до последних дней работая над новыми рукописями по самой разнообразной тематике. И хотя оба вошедших в науку термина с его именем (формулы Кардано и Карданов шарнир) формально не означают его приоритета, вклад Кардано в теорию алгебраических уравнений и в механику пространственных шарниров все же оправдывает их существование. Именно это он, по-видимому, и имел в виду, написав на последних страницах своей автобиографии признание: «Сознаюсь, что в математике кое-что, но в самом деле ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо». Несомненным же его собственным достижением следует считать введение мнимых чисел, что не было сделано ни Тартальей, ни Ферро, ни Феррари. Также он, предвосхищая Ф. Виета, указал на связь между корнями и коэффициентами многочлена, и установил делимость многочлена P(x) на бином (x-a), если а – корень уравнения P(x)=0.

В заключение заметим, что несмотря на долгое и острое противостояние Тартальи и Кардано в приоритетном споре о корнях кубического уравнения, они оба вошли в историю этого уравнения (хотя первооткрывателем его решения, несомненно, являлся малоизвестный С. Дель Ферро), а их имена в настоящее время мирно соседствуют в качестве названий двух лунных кратеров.

Последним крупным математиком-алгебраистом итальянского Возрождения стал большой почитатель и последователь Кардано выпускник Болонского университета и инженер-гидравлик по профессии Рафаэль Бомбелли (1526 – 1572), который в своей «Алгебре» (1572г.) окончательно узаконил применение мнимых и комплексных чисел. Важную роль при подготовке этой книги сыграло ознакомление автора со сравнительно недавно обнаруженной Региомонтаном в Венеции рукописью «Арифметики» Диофанта (которую он тут же перевел на латынь). Целый ряд задач (около 140) из этой книги Бомбелли рассмотрел со своих позиций и включил в свою «Алгебру». Следуя Диофанту, он аксиоматически ввел комплексные числа, как в свое время Диофант ввел отрицательные. Обозначение же впервые появилось в 1777 году в работах Л. Эйлера, который следуя Декарту, начал называть такие числа мнимыми. Также Бомбелли первый ввёл в употребление квадратные скобки «[ ]» (1550 г.). Круглые же скобки «( )» были ранее введены Тартальей.

Что касается практического использования комплексных чисел широкими кругами математиков, то оно началось только в XIX веке, после того как в 1799 г.датский землемер Каспар Вессель (1745 – 1818) дал им геометрическую интерпретацию,а швейцарский математик Ж. Арган ввёл в 1806 г. понятие и термин «модуль комплексного числа» (1815). Важную роль в теории комплексных чисел сыграла знаменитая «формула Муавра», определяющая правила возведения комплексного числа e^iφ в n-ую степень или извлечение из него корня n-ой степени:

(cos φ ± i sin φ) ⁿ = cos nφ ± i sin nφ (9.3)

А. Муавру (1667 – 1754) принадлежит также первое исследование возвратных степенных рядов и нахождение правил их возведения в n-ую степень.

Возвращаясь к уравнениям 3-й и 4-й степеней необходимо сказать, что завершающий шаг в решении алгебраических уравнений более высоких степеней сделал в 1824 г. норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829), доказавший их неразрешимость в радикалах (при произвольных коэффициентах).

Нельзя не упомянуть имени известного итальянского энциклопедиста и популяризатора Георгия Валла (1447 – 1500), который прославился тем, что разыскивал, собирал и переводил античные рукописи. Так он перевел Аполлония, прокомментировал Архимеда, Евклида, Аристотеля и др. На этой основе он написал и издал грандиозную энциклопедию «О вещах, к которым следует стремиться и которых следует избегать», вышедшую в 1501г. уже после смерти автора. Хотя в ней отсутствуют собственные результаты Г. Валла, она сыграла важную роль в распространении и популяризации античной науки и ее приспособлении к потребностям эпохи Возрождения.

Еще одним известным переводчиком и историком античности стал Бернардино Бальди (1553 – 1617), написавший биографии почти 200 самых известных математиков. Также он одним из первых сделал переводы на латынь сочинений Герона, Паппа, Аполлония, Евклида, Птолемея. Из его оригинальных научных работ стоит упомянуть трактат «Упражнения по поводу «Механических проблем» Аристотеля», написанный в 1582 г, но изданный лишь в 1621 г., где автор подробно анализирует задачу Аристотеля об устойчивости «Т-образной» схемы весов. Решает её Бальди путём определения высоты центра тяжести весов при их малом отклонении от начального положения.Это решение вместе с постановкой его собственной «задачи Бальди» (о нахождении центра качения маятника) были впоследствии изложены в одном из компилятивных трудов Мерсенна.

Резюме: Л. Пачиоли и его «Сумма арифметики» – итог античной математики. Постановка проблемы о кубическом уравнении. Роль Пачиоли в истории «золотого сечения» и занимательной математики. С. дель Ферро – автор «магической формулы». Н. Тарталья – гениальный самоучка, первый баллистик. Его книги и совместные с Дж. Бенедетти эксперименты. Победа в научном диспуте с А. Фиоре, встреча с Дж. Кардано. Кардано – выдающийся врач, писатель, математик и инженер. Его судьба, основные труды, изобретения и астрологические предсказания. «Великое искусство» – начало европейской алгебры. Решение Л. Феррари. Конфликт Кардано с Тартальей. «Алгебра» Р. Бомбелли и введение комплексных чисел. Г. Валла и Б. Бальди – переводчики и биографы античных авторов.