8.4.3. Рождение алгебры

На основе своих алгебраических разработок Омар Хайям написал знаменитый «Трактат о доказательствах задач алгебры и ал-мукаббалы», в котором дает классификацию уравнений 3-й степени, указав, когда они могут иметь один или два вещественных корня. Однако он еще не знал, что оно может иметь и 3 вещественных корня. Также он дает геометрическую теорию параллельных линий и строит способы извлечения корней любой степени. К сожалению, этот трактат стал известен в Европе только в XIX веке и поэтому не оказал влияния на развитие европейской математики. Гораздо большую известность приобрели его поэтические произведения – рубаи, представлявшие собой острые и выразительные четверостишия. Приведем здесь лишь два из них, имеющих непреходящее звучание:

Дух рабства кроется в Кумире и Каабе

Трезвон колоколов – язык смиренья рабий

И рабства подлая печать равно лежит

На четках и кресте, на церкви и михрабе.

***

Оказавшись средь важных ученых ослов

Постарайся ослом показаться без слов.

Ибо каждого, кто не осел, эти дурни

Обвинят немедля в подрыве основ!

Возвращаясь к ученику О. Хайяма ал-Хазини, упомянем, что он первый дал объяснение функционирования артезианских колодцев, основанное на принципах действия сообщающихся сосудов. Такие колодцы широко использовались на арабском Востоке, а в Европу проникли только в XII в. Обсуждая вопросы механики, ал-Хазини повторил некоторые результаты Архимеда – о равновесии рычага, о сферической форме равновесия жидкого объема, об условиях равновесия тела в жидкости. Также он высказал гипотезу, что скорость движения тела в жидкости тем больше, чем она «жиже». Считал, что тяжесть любого тела – это его собственное свойство, не зависящее от других тел.

Еще один раздел физики, в который арабские ученые внесли важный вклад, это оптика. Капитальный трактат «Сокровище оптики» был написан знаменитым арабским физиком и математиком, уроженцем города Басра Альхазеном (965 – 1038). В первых 3-х книгах этого 7-томного труда затрагиваются вопросы строения глаза, а явление зрения объясняется действием внешних световых пучков на светочувствительные нервы. Свет автор трактует как поток частиц, которые отражаются и преломляются аналогично механическим частицам. Большое место отводится описанию оптических экспериментов, в которых обнаруживается закон отражения света. Однако закон преломления ему установить не удалось, хотя он научился рассчитывать фокусное расстояние линзы. Книга Альхазена в 1572 г. была переведена на латынь и издана в Базеле, оказав большое влияние на развитие европейской оптики. Важным математическим достижением Альхазена стало его решение известной задачи Архимеда о сечении сферы плоскостью, делящей ее на два сегмента, объемы которых находятся в заданном отношении. Решение этой задачи в общем случае сводится к решению кубического уравнения, однако, Альхазен построил искомое решение графически с помощью пересечений параболы и гиперболы. Из написанных им 92 научно- философских книг сохранилось 55 но разным обладателям знаний. Кроме теоретических исследований Альказен занимался некоторыми практическими делами. Так по поручению египетского правителя аль- Хакиме он искал способы защиты от нескольких наводнений, предложив строить плотину в Асцане (где она и была построена в ХХ веке). Разгневанный правитель счел это предложение невыполнимым. И тогда, спасаясь он его гнева, Альхазен объявил себя сумашедшим и уединился в мысти аль- Азасар.

Обратимся теперь к самому крупному алгебраисту Средневековья, заложившему основы современной алгебры, Мухаммаду ал-Хорезми (783 – 840), от имени которого и произошло современное название «алгоритм». Будучи уроженцем Хорезма он был приглашенв 818 году в Багдад аль-Маммуном (сыном знаменитого халифа Гаруна аль-Рашида) как знаменитый математик. В Багдаде Хорезми возглавил «Дом мудрости» игравший в IX–XII вв. роль Академии наук арабского Халифата, и начал активно участвовать в работе астрономической обсерватории, занявшись составлением тригонометрических таблиц, используя при этом как таблицы Птолемея, так и индийские таблицы. Основной же сферой его интересов стали задачи по арифметике и алгебре, которым он посвятил 11 своих работ, причём, две из них увековечили его имя. Одна из них – «Об индийском счете» – стала первой книгой в мусульманско-христианском мире, где излагалась «индийская арифметика», т.е. позиционная 10-ричная система счисления, дополненная нулем. В ней подробно описывались операции сложения, вычитания и умножения, хотя тех цифр, которые ныне принято называть арабскими, еще не было.

Большое влияние на развитие европейской математики оказалавторая книга– «Краткая книга об исчислении ал-джебр и ал-мукаббалы», написанная Хорезми по указанию халифа аль-Маммуна в качестве учебника математики для юношества (переведенная на латынь в 1145 г). В ней строились способы решения алгебраических уравнений 1-й и 2-й степени. Они приводились к 6 каноническим типам, которые в нынешних обозначениях имеют вид:

1. ax² = bx,	2. ax² = c,	3. bx = c, (8.5)
4. ax² + bx = c,	5. ax² + c = bx,	6. ax² = bx + c,

причем все коэффициенты здесь считались положительными. Для решения этих уравнений предполагалось использовать две основные операции:

а) ал-джебр – избавление от отрицательных слагаемых путем добавления к обеим частям уравнения равных им положительных слагаемых;

б) ал-мукаббала – сокращение равных слагаемых в обеих частях уравнения.

Операция «ал-джебр» стала нарицательной и от нее произошло слово «алгебра», пришедшее в Европу в XIV в. При решении конкретных уравнений (которые преимущественно возникали из прикладных задач) Хорезми учитывал только положительные корни, а корни иррациональные называл «немыми» или «слепыми». В отличие от своих предшественников автор не просто дает численный ответ, но объясняет и показывает ход его получения.

Алгебраический трактат ал-Хорезми продемонстрировал тот факт, что решать практические задачи можно не только геометрическими, но и алгебраическими методами, указав тем самым новый путь исследований, по которому двинулось множество его последователей. Один из них багдадский математик ал-Караджи (Х–XI в.) написал ряд алгебраических книг( «Аль-Фахри», и др.), где решает уравнения вида

x²ⁿ ± pxⁿ = ±a, (8.6)

доказывает алгебраическое тождество

, (8.7)

находит биноминальные коэффициенты бинома Ньютона (a + b)ⁿ до n=12, а также закладывает основы алгебры многочленов.Фактически он первый стал трактовать алгебру как арифметику неизвестных величин. Изучая арифметические ряды ал-Караджи дал формулы для их конечных сумм.

Помимо математических и астрономических исследований Хорезми заложил основы арабской географической науки. В «Книге картины Земли» он продолжил и дополнил ряд результатов «Географии» Птолемея и определил точные географические координаты 2402 пунктов арабской ойкумены.

Прямым продолжателем работ ал-Хорезми был египтянин Абу-Камил (850–930.), который уже не избегал иррациональных корней алгебраических уравнений и свободно оперировал несколькими переменными. Например, он получил и неоднократно использовал формулу:

(8.8)

Еще дальше пошел в алгебраических построениях ученик ал-Караджи, иудейский математик и врач ас-Самавал (? – 1174). В «Блестящей книге об арифметике» он установил правила обращения с отрицательными числами, дал определение нулевой степени (x⁰ = 1), сформулировал тождество , а также предложил метод деления многочленов и извлечения из многих квадратных корней.