21. Сущность средней величины.
Средней величиной является обобщающая характеристика большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Средняя величина – то общее, что характерно для всей совокупности, но исключает те отличия, которые наблюдаются у отдельных единиц как бы взаимно погашая их. Средние величины должны определятся не для всех совокупностей, а только для тех, которые являются однородными. Средние величины, полученные для неоднородных совокупностей не только не имеют ценностей, но даже могут принести вред искажая истинный характер общественного явления.
Таким образом, в статистике средней величиной является обобщающий показателей, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности. Значение средней величины в следующем: их используют для оценки результатов использования научных разработок в производстве, в социальной жизни, а также в изыскании скрытых и неиспользованных резервов.
Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.
Средние величины широко применяются в различных отраслях знаний. Особо важную роль они играют в экономике и статистике: при анализе, планировании, прогнозировании, при расчете нормативов и при оценке достигнутого уровня. Средняя всегда именованная величина и имеет ту же размерность, что и отдельная единица совокупности.
22. Виды средних и методы их расчета.
Две категории средних величин:
Степенные средние (включают: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, ср. квадратическую, ср. геометрическую)
Структурные средние (это мода и медиана).
Введем обозначения:
-
величины, для которых исчисляется
средняя;
- средняя, где
черта сверху свидетельствует о том, что
имеет место осреднение индивидуальных
значений;
- частота
(повторяемость индивидуальных значений
признака).
Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:
|
при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая. |
Средние величины бывают:
Простые средние;
Взвешенные средние называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.
1. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.
Свойства арифметической средней:
Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений.
Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.
Свойство третье:
средняя арифметическая постоянной
величины равна этой постоянной:
,
при а = const.
2. Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.
Средняя геометрическая используется, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака.
