Затухающие колебания.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. В реальной колебательной системе всегда есть силы типа трения, которые приводят к уменьшению амплитуды (и энергии) колебаний. Тогда свободные колебания называются затухающими. Пусть на частицу массы m кроме квазиупругой силы (-kx) действует сила сопротивления, пропорциональная скорости . Тогда уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид . Перенесем все в левую часть, разделим на m и введем обозначения: ; ; после чего получим

. (15)

Циклическую частоту ₀ называют собственной частотой,  - коэффициентом затухания. Уравнение (15) - это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение

, (16)

где а₀ и  - произвольные константы, которые можно найти из начальных условий; Частота затухающих колебаний , а зависит от :

. (17)

С

Рис.9

трого говоря, затухающие колебания не являются гармоническими (рис.9), но их можно условно называть гармоническими с экспоненциально уменьшающейся амплитудой (пунктир на рис.9). Решение (16) имеет смысл, если . В противном случае в (17) под корнем стоит отрицательная величина и процесс затухает апериодически. Физически это означает, что трение слишком велико, чтобы происходили колебания, хотя бы и с уменьшающейся амплитудой.

Время релаксации – это время  , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Так как меньше а_о в е раз, то ,  -1=-,  .

Логарифмический декремент затухания – это логарифм отношения двух последовательных амплитуд

.

Подставляя в =1/, получим =Т/ ,   - величина, обратная такому числу колебаний, за которое амплитуда уменьшится в е раз!

Билет №5

Вынужденные колебания.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Вынужденные колебания можно получить, если к перечисленным выше силам (квазиупругой = - kx и трения= ) добавить внешнюю силу, например, периодическую F=F₀cost. Тогда по второму закону Ньютона

или

, (18)

где ; ; . Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (18) состоит из суммы общего решения однородного уравнения (15) и частного решения неоднородного (18). Общее решение однородного ДУ, как мы видели, затухает со временем. Поэтому остается только частное решение (соответствующее установившимся колебаниям), которое показывает, что в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой  вынуждающей силы, но отстающие от нее по фазе на некоторое φ

. (19)

Если дважды продифференцировать (последний раз предупреждаю, что это значит – взять производную!) уравнение (18), нарисовать векторную диаграмму с учетом сдвига фаз, то можно найти а и φ

, (20)

Резонанс. Первая из формул (20) показывает зависимость амплитуды а от частоты вынуждающей силы (рис.10). При =0, а= , а максимум амплитуды соответствует условию . Но еще проще найти минимум только для выражения под корнем, приравняв нулю производную от него. Соответствующая частота _рез называется резонансной

 _рез= , (21)

а само явление достижения максимальной амплитуды называется резонансом. Подставляя в первую из формул (20) резонансную частоту (21), получим максимальную амплитуду

. (22)

Из (22) и рис.10 видно, что чем меньше затухание в системе, тем ярче выражен резонанс. Резонанс используют, если нужно усилить колебания, и, наоборот избегают, если он может привести к нежелательному усилению колебаний.