26. Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность  типа   или  .  Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

• Если   и  , то  ;

• Если   и  , то аналогично  .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа  . Первые две неопределенности   можно свести к типу   или   с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности   сводятся к типу   с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Пример 1

Вычислить предел  . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

27. Теорема Ферм.

для любого натурального числа n>2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z

В прямоугольном треугольнике, имеющем стороны x, y, z₁ (рис.1), выполняется равенство

               z₁² = x² + y²                                                          (1)

 

 

рис.1

       

     При показателе степени n>2 

               z₁ⁿ = (x² + y²)^n/2 > xⁿ + yⁿ                                         (2)

     Очевидно, что в формуле zⁿ = xⁿ + yⁿ                                (3)

                z > y ≥ x или z > x ≥ y                                     

     Таким образом, можно констатировать, что равенству

                zⁿ = xⁿ + yⁿ при n>2

соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона

                z < z₁                                                                        (4)

     Гипотенуза разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У разомкнутого прямоугольного треугольника                 z² < x² + y²                                                                   (5)

     Условиям (3) и (5) удовлетворяет также остроугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём

                π/3 < z < π/2                                                              (6)

     Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

     Решение полученного остроугольного треугольника относительно стороны z

                z² = x² + y² – 2xycos z                                              (7)

        Отсюда 

                zⁿ = (x² + y² – 2xycos z)^n/2                                        (8)

        В результате можно записать

                zⁿ = xⁿ + yⁿ = (x² + y² – 2xycos z)^n/2                          (9)

     Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника.

     Рассмотрим, какие значения может принимать тригонометрическая функция угла z.

               cos z = (x² + y² - z²)/2xy = β, здесь 0 < β < 0,5          (10)      

     Значение угла z есть отношение длины дуги, заключённой между его сторонами, которая описана произвольным радиусом из вершины угла, к радиусу. Длина дуги выражается иррациональным числом. Рациональными числами можно задать лишь интервал значений, в котором находится её длина. Поэтому и значение угла z может быть задано с любой точностью рациональными числами только интервалом значений, в котором находится его величина. Отсюда следует, что угол z нельзя задать рациональным числом. Значения тригонометрической функции этого угла можно вычислить для заданных пределов интервала значений угла. Но значение тригонометрической функции угла нельзя выразить рациональным числом. Поэтому значения длины линии синуса и косинуса также можно выразить рациональными числами только значениями пределов интервала, в котором эти длины находятся.

        В вычислениях иногда используется также градусное измерение углов. При этом ставится знак равенства между иррациональным и рациональным числом, например,  z = π/2 = 90⁰. Это равенство в теоретическом плане некорректно. Также в теоретическом плане некорректно выражать результаты вычислений длины линий синусов и косинусов рациональными числами. Рациональными числами можно выражать значения только дискретно изменяющихся величин. Значения функций, не имеющих разрывов, во всех случаях выражаются иррациональными числами.

     Если предположить, что cos z может принимать рациональные значения, и знак равенства в (9) правомерен, то Великая теорема Ферма опровергнута. Но тогда следует признать неверным доказательство, выполненное Эндрю Уайлсом. Для проверки этого вывода можно найти множество решений остроугольных треугольников в рациональных числах относительно стороны z. При подстановке полученных значений в (3) должно иметь место равенство, но это противоречит результатам многочисленных экспериментов, компьютерных расчётов до чрезвычайно больших значений x, y, z и n.

        В современной математике принято при переходе от остроугольного треугольника к прямоугольному треугольнику приравнивать значение 2xycoszнулю. Эти действия допустимы при решении практических задач, но не допустимы в теоретическом анализе, поскольку противоречат (10).

        Строго говоря, прямоугольных треугольников не существует вовсе. Но, учитывая, что главное назначение математики заключается в обслуживании прикладных наук, условно можно допустить существование прямоугольных треугольников, заданных с любой необходимой точностью. Это допущение используется как метод решения уравнений, основанный на случайном совпадении вида уравнений разного рода, описывающих соотношения площадей и соотношения сторон треугольника.

     В теоретическом плане теорема Пифагора применима для определения соотношения площадей, там где в уравнении используются значения соизмеримых отрезков. В треугольниках же длины сторон несоизмеримы. Как минимум, одна из сторон имеет иррациональное значение. Именно это и доказывает Великая теорема Ферма, которая по существу есть решение треугольника, записанное в алгебраической форме.

     Учитывая сказанное, не существует значения zⁿ, которое удовлетворяло бы равенству (9).

               zⁿ ≠ xⁿ + yⁿ = (x² + y² – 2xycos z)^n/2    при  n>2