Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y).

Тогда получаем

Теорема доказана.

24. Логарифмическая производная. Производные высших порядков

Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции: 

Используя формулу производной сложной функции, найдем, что  (*)

Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции.

Производные высших порядков

  Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:

y' =f ' (x)

.   Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

Пример.    

  Очень удобно пользоваться также обозначением

 ,

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.   Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

  Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

25. Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Понятие дифференциала функции

Еще раз запишем определение производной

Теперь произведем преобразования над этим пределом и воспользуемся понятием бесконечно малой функции. Перенесем значение производной из левой части в правую:

Величина производной функции в данной точке х0 является величиной постоянной, а предел постоянной равен самой этой постоянной:

Разность пределов равна пределу разности, следовательно

или еще преобразуем:

Величина приращения функции записывается более кратко

Равенство этого предела нулю означает, что числитель равен бесконечно малой более высокого порядка относительно знаменателя, то есть относительно приращения независимой переменной. По другому это записывается следующим образом

Таким образом, приращение функции, или зависимой переменой, представляется в виде суммы двух бесконечно малых величин:

• одна - линейная главная часть,

• вторая - бесконечно малая более высокого порядка относительно независимой переменной:

Так вот, эта линейная главная часть

и называется дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначается

Таким образом, дифференциал равен произведению производной на дифференциал независимой переменной или на приращение независимой переменной, что одно и то же.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

 

Мы установили, что дифференциал функции является частью ее приращения и отличается от нее на величину  . Эта величина при   является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем   (при  ), так как

.

Поэтому при достаточно малых   имеет место приближенное равенство   или  , откуда

.                  (1)

При этом чем меньше  , тем точнее значение функции.

Равенство (1) представляет собой "рабочую формулу" применения дифференциала к приближенным вычислениям.

Пример. Вычислите приближенно с двумя десятичными знаками  .

Решение.

Введем функцию   и в качестве   возьмем  число, наиболее близкое к  , но такое, чтобы   легко вычислялся и   было бы достаточно малым.

В нашем случае удобно взять  , тогда  . Найдем  .

Вычислим  ,  .

Тогда по формуле (1)

.

Ответ:  .