20. Бесконечно малые и бесконечно большие функций. Свойства. Сравнение бесконечно малых.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая величина

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины   и   (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если  , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем  . Обозначают  .

Если  , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем  . Соответственно  .

Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как   или   (в силу симметричности данного отношения).

Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет  -й порядок малости относительно бесконечно малой  .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

При   величина   имеет высший порядок малости относительно  , так как  . С другой стороны,   имеет низший порядок малости относительно  , так как  .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде  .

 то есть при   функции   и  являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи   и 

При   бесконечно малая величина   имеет третий порядок малости относительно  , поскольку  , бесконечно малая   — второй порядок, бесконечно малая   — порядок 0,5.