15. Линейная зависимость и независимость векторов.
Определение.
Если
линейная комбинация 
может
представлять собой нулевой вектор
тогда, когда среди чисел 
есть
хотя бы одно, отличное от нуля, то система
векторов 
называется линейно
зависимой.
Определение.
Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.
Свойства линейной зависимости и независимости.
На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.
Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.
Доказательство.
Так
как система векторов
линейно
зависима, то равенство 
возможно
при наличии хотя бы одного ненулевого
числа из чисел
.
Пусть 
.
Добавим
к исходной системе векторов еще s векторов 
,
при этом получим систему 
.
Так как
и 
,
то линейная комбинация векторов этой
системы вида
представляет
собой нулевой вектор, а
.
Следовательно, полученная система
векторов является линейно зависимой.
Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.
Доказательство.
Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.
Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.
Доказательство.
Пусть
вектор 
в
этой системе векторов является нулевым.
Предположим, что исходная система
векторов линейно независима. Тогда
векторное равенство
возможно
только тогда, когда 
.
Однако, если взять любое 
,
отличное от нуля, то равенство
все
равно будет справедливо, так как 
.
Следовательно, наше предположение
неверно, и исходная система векторов
линейно зависима.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.
Доказательство.
Сначала докажем первое утверждение.
Пусть
система векторов
линейно
зависима, тогда существует хотя бы одно
отличное от нуля число
и
при этом верно равенство
.
Это равенство можно разрешить
относительно
,
так как
,
при этом имеем
Следовательно,
вектор
линейно
выражается через остальные векторы
системы
,
что и требовалось доказать.
Теперь докажем второе утверждение.
Так
как система векторов
линейно
независима, то равенство 
возможно
лишь при
.
Предположим,
что какой-нибудь вектор системы
выражается
линейно через остальные. Пусть этим
вектором является 
,
тогда 
.
Это равенство можно переписать как 
,
в его левой части находится линейная
комбинация векторов системы, причем
коэффициент перед вектором
отличен
от нуля, что указывает на линейную
зависимость исходной системы векторов.
Так мы пришли к противоречию, значит,
свойство доказано.
Из
двух последних свойств следует важное
утверждение:
если система векторов
содержит векторы 
и 
,
где 
–
произвольное число, то она линейно
зависима.
Исследование системы векторов на линейную зависимость.
Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .
Логичный вопрос: «как ее решать?»
Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:
когда хотя бы один из векторов системы является нулевым;
когда система векторов содержит два или более равных вектора;
когда система векторов содержит пропорциональные векторы ( и );
когда достаточно очевидно, что один из векторов системы линейно выражается через несколько других.
Как же быть в остальных случаях, которых большинство?
Разберемся с этим.
Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.
Теорема.
Пусть r –
ранг матрицы А порядка p на n, 
.
Пусть М –
базисный минор матрицы А.
Все строки (все столбцы) матрицы А,
которые не участвуют в образовании
базисного минора М,
линейно выражаются через строки (столбцы)
матрицы, порождающие базисный минор М.
А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.
Составим
матрицу A,
строками которой будут векторы исследуемой
системы
:
Что будет означать линейная независимость системы векторов ?
Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно,линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A) = p.
Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?
Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A) < p.
Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.
Следует заметить, что при p > n система векторов будет линейно зависимой.
Замечание: при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.
Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.
Сначала следует убедиться, что число векторов исследуемой системы не превосходит числа координат векторов. Если же p > n, то можно делать вывод о линейной зависимости.
Проверяем, не содержит ли система векторов нулевого вектора, равных векторов, пропорциональных векторов ( и ). Если такие имеются, то также делается вывод о линейной зависимости системы.
Если два предыдущих пункта алгоритма не привели к результату, то составляем матрицу A, строками которой являются векторы исследуемой системы векторов и находим ее ранг. Если Rank(A) < p, то система векторов линейно зависима. Если Rank(A) = p, то система векторов линейно независима.
Разберем алгоритм на примерах.
Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.
Пример.
Дана
система векторов 
.
Исследуйте ее на линейную зависимость.
Решение.
Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.
Ответ:
система векторов линейно зависима.
16. Базис. Разложение вектора по базису
Базис
п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.
Определение.
Любое конечное множество векторов 
называется
системой векторов.
Определение.
Выражение 
,
где 
называется
линейной комбинацией системы векторов
,
а числа 
называются
коэффициентами этой линейной комбинации.
Пусть
L, Р и S – прямая, плоскость и
пространство точек
соответственно и 
.
Тогда 
– векторные пространства
векторов как
направленных отрезков на прямой L,
на плоскости Р
и в пространстве S
соответственно.
Определение.
Базисом векторного пространства 
называется
любой ненулевой вектор 
,
т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный
прямой L: 
и 
.
Обозначение
базиса
: 
–
базис
.
Определение.
Базисом векторного пространства 
называется
любая упорядоченная пара
неколлинеарных векторов пространства
.
рис.1.
,
где 
, 
–
базис
.
Определение.
Базисом векторного пространства 
называется
любая упорядоченная тройка
некомпланарных векторов (т.е.
не лежащих в одной плоскости) пространства
.
рис.2.
–
базис
.
Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве по определению, в пространстве два вектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, в пространстве три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.
Разложение вектора по базису
п.2. Разложение вектора по базису.
Определение.
Пусть 
–
произвольный вектор,
–
произвольная система векторов.
Если выполняется равенство
,
(1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Доказательство.
1) Пусть L произвольная прямая (или ось)
и
–базис
.
Возьмем произвольный вектор 
.
Так как оба вектора 
и
коллинеарные
одной и той же прямой L,
то 
.
Воспользуемся теоремой о
коллинеарности двух векторов.
Так как
,
то найдется (существует) такое число 
,
что 
и
тем самым мы получили разложение
вектора
по
базису
векторного пространства
.
Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :
и 
,
где 
.
Тогда 
и
используя закон дистрибутивности,
получаем:
.
Так
как
,
то из последнего равенства следует,
что 
,
ч.т.д.
2)
Пусть теперь Р произвольная плоскость и
– базис
.
Пусть 
произвольный
вектор этой плоскости. Отложим все три
вектора от какой-нибудь одной точки
этой плоскости. Построим 4 прямых.
Проведемпрямую 
,
на которой лежит вектор
, прямую 
,
на которой лежит вектор 
.
Через конец вектора
проведем прямую параллельную
вектору
и
прямую параллельную вектору
.
Эти 4 прямые высекают
параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу
параллелограмма 
,
и 
, 
,
– базис
, 
– базис
.
Теперь,
по уже доказанному в первой части этого
доказательства, существуют такие числа 
,
что
и 
.
Отсюда получаем:
и
возможность разложения по базису
доказана.
рис.3.
Теперь
докажем единственность разложения по
базису. Допустим противное. Пусть имеется
два разложения вектора
по
базису
векторного пространства
: 
и 
.
Получаем равенство
,
откуда следует 
.
Если 
,
то 
,
а т.к. 
,
то 
и
коэффициенты разложения равны: 
, 
.
Пусть теперь 
.
Тогда 
,
где 
.
По теореме о коллинеарностидвух векторов отсюда
следует, что 
.
Получили противоречие условию теоремы.
Следовательно,
и
,
ч.т.д.
3)
Пусть
– базис
и
пусть 
произвольный
вектор. Проведем следующие построения.
Отложим
все три базисных вектора 
и
вектор
от
одной точки и построим 6 плоскостей:
плоскость, в которой лежат
базисные векторы 
, плоскость 
и плоскость 
;
далее через конец вектора
проведем
три плоскости параллельно
только что построенным трем плоскостям.
Эти 6 плоскостей высекают
параллелепипед:
рис.4.
По правилу сложения векторов получаем равенство:
.
(1)
По
построению 
.
Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов,
следует, что существует число 
,
такое что 
.
Аналогично,
и 
,
где 
.
Теперь, подставляя эти равенства в (1),
получаем:
(2)
и возможность разложения по базису доказана.
Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису :
и 
.
Тогда
.
(3)
Заметим, что по условию векторы некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.
Возможны два случая: или .
а) Пусть , тогда из равенства (3) следует:
.
(4)
Из
равенства (4) следует, что вектор
раскладывается
по базису 
,
т.е. вектор
лежит
в плоскости векторов
и,
следовательно, векторы
компланарные,
что противоречит условию.
б)
Остается случай
,
т.е. 
.
Тогда из равенства (3) получаем 
или
.
(5)
Так
как
– базис пространства векторов лежащих
в плоскости, а мы уже доказали единственность
разложения по базису векторов плоскости,
то из равенства (5) следует, что
и 
,
ч.т.д.
Теорема доказана.