48.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной перемены в определённом интеграле.

Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

Доказательство. Возьмём любое значение и придадим ему приращение , такое, чтобы . Тогда функция Ф(x), определённая выражением , получит новое значение:

Согласно свойствам определённого интеграла имеем Отсюда находим приращение функции Ф(х): . Применяя теорему о среднем значении, получаем , где с-число, заключённое между числами х и х+ . Разделим обе части равенства на Если теперь , тогда, в силу непрерывности функции f(x) на промежутке [a,b], f(c)→f(x). Поэтому, переходя к пределу при в последнем равенстве, получаем .

Формула Ньютона – Лейбница. Пусть функция f(x) определена на [a,b]. F(x) – первообразная для f(x) на [a,b], тогда . Допустим x=a, тогда предыдущее выражение примет вид: 0=F(a)+c, c= -F(a). Следовательно, имеем . Положим, x=b, тогда , которую можно записать следующим образом .

Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема. Пусть f(x) – непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда, если: 1) функция дифференцируема на [α,β] и непрерывна на [α,β]; 2) множеством значений функции является отрезок [a,b]; 3) , то справедлива формула .

Доказательство. По формуле Ньютона – Лейбница . С другой стороны рассмотрим сложную функцию на отрезке [α,β] от переменной t: Ф(t)=F[φ(t)]. Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим , отсюда следует, что функция Ф(t) – является первообразной для функции , непрерывной на [α,β], и поэтому, согласно формуле Ньютона – Лейбница, получаем , что и требовалось доказать.

49.Интегрирование определённого интеграла по частям.

Теорема. Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива формула

Доказательство. Так как функция u(x)v(x) является первообразной для функции [u(x)v(x)]`=u`(x)v(x)+v`(x)u(x), то по формуле Ньютона – Лейбница отсюда, используя свойства определённого интеграла, получаем или то же самое откуда и получаем формулу интегрирования определённого интегрирования по частям.

50.Вычисление площадей плоских фигур.

Определённый интеграл от неотрицательной функции f(x) на отрезке [a,b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a,b], ограниченной сверху графиком функции y=f(x).

Разобьём данный отрезок [a,b] на n частей точками a=x0<x1<x2…xn=b, выберем на каждом частичном отрезке произвольно точку и рассмотрим ступенчатую фигуру. Площадь S криволинейной трапеции приближённо равна площади ступенчатой фигуры:

51.Вычисление дуги кривой.

Пусть y=f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Разбиваем дугу на n частей A=M_0, M_1, …M_n-1, M_n=B. Возьмём произвольный отрезок графика функции с координатами .

, так как по теореме Лагранжа , получаем ,

52.Вычисление тела вращения.

Пусть y=f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Получаем криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с основанием [a,b], ограниченную с боков функциями x=a, x=b. Вращая данную трапецию вокруг оси Ох, получим фигуру вращения. Разбиваем тело на n частей: и получаем n цилиндров с радиусами основания f(ξ_i) и высотами Δx_i. .