44.Интегрирование тригонометрических функций.
– непосредственное
интегрирование по таблице основных
интегралов
- формулы понижения
степени.
-
формулы произведения.
-понижение
степени.
Так же можно воспользоваться универсальной подстановкой:
и
далее методом подстановки:
,
тогда
45.Интегрирование иррациональных функций.
Интеграл
вида:
приводится к виду
Интеграл
вида:
приводится к виду
Интеграл
вида:
.
Воспользуемся заменой:
,
где n-наименьшее
общее кратное p
и q.
46.Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла. Ограниченность интегрируемой функции.
Определение.
Если существует конечный предел I
интегральной суммы
при λ→0, где λ-длина наибольшего частичного
отрезка разбиения τ:
,
то этот предел называется определённым
интегралом от функции f(x)
по отрезку [a;b]
и обозначается
Геометрический смысл определённого интеграла. Определённый интеграл – число, равное площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком f(x), снизу осью Ох, с боков графиками x=a; x=b.
Ограниченность интегрируемости функции. Теорема. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство.
Допустим, что f(x)
не ограничена на [a;b].
В этом случае интегральную сумму σ можно
за счёт выбора точек
сделать сколь угодно большой при любом
разбиении отрезка [a,b],
тогда интегральная сумма по абсолютной
величине будет больше любо наперёд
заданного числа. Поэтому интегральная
сумма не имеет конечного предела при
λ→0, а это значит, что определённый
интеграл от неограниченной функции не
существует. Обратная теорема не верна,
т.е. условие ограниченности функции
необходимое, но не достаточное условие
интегрируемости функции.
47.Основные свойства определённого интеграла. Формула среднего значения.
1.По
определению полагаем
,
рассматриваем эту формулу как естественное
распространение понятия определённого
на отрезок нулевой длины.
2.Так
же по определению полагаем
,
рассматривая данную формулу как
естественное распространение понятия
определённого интеграла на случай,
когда отрезок [a,b]
при a<b
пробегается в направлении от b
к a.
В этом случае точки разбиения xi
отрезка [a,b]
занумерованы в порядке следования от
b
к a
и в интегральной сумме все разности
имеют отрицательный знак.
3.Каковы
бы ни были числа a,b,c,
имеет место равенство
.
Доказательство.
Допустим сначала, что a<c<b.
Так как предел интегральной суммы не
зависит от способа разбиения отрезка
[a,b],
то будем разбивать [a,b]
так, чтобы точка c
была точкой разбиения. Если, например,
c=xm,
то интегральная сумму можно разбить на
две суммы:
,
переходя в этом равенстве к пределу
λ→0, получим
, то есть определённый по всему отрезку
равен сумме интегралов по его частям.
4.Постоянный
множитель можно вынести за знак интеграла,
т.е.
Доказательство.
Ля любого разбиения отрезка [a,b]
и любого выбора точек
Переходя к пределу при λ→0, имеем
=
.
5.Определённый
интеграл от алгебраической суммы функций
равен алгебраической сумме их интегралов,
т.е.
.
Доказательство. Для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек
.
Так
как
и
,
то
.
Теорема о среднем значении. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке существует такая точка с, что
