40.Неопределнный интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла.

Определение. Если функция F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х, то множество функций F(x)+C, где С – произвольная постоянная =, называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом: , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, а переменная x – переменная интегрирования. Данный символ обозначает и совокупность всех первообразных данной функции и любой элемент этой совокупности.

Свойства неопределённого интеграла.

1.Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции ; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

и . Т.е. и

2.Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

, то есть , то

3.Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла. Если k=const≠0, то

, то есть при F(x) – первообразная для функции f(x), т.е. F`(x)=f(x), kF(x) – первообразная для функции kf(x), так как (kF(x))`=kF`(x)=kf(x), следовательно .

4.Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

. То есть, при F(x) и G(x) – первообразные для функций f(x) и g(x). Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функций f(x)±g(x). Следовательно .

41.Интегрирование неопределённого интеграла методом подстановки.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве T справедлива формула .

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на множестве Х. Рассмотрим на множестве Т сложную функцию F( ). По правилу диффреницирования сложной функции, учитывая, что F`(x)=f(x), получаем т.е. функция имеет на множестве Т первообразную и, следовательно, . Замечая, что , что и требовалось доказать.

42.Интегрирование неопределённого интеграла методом интегрирования по частям.

Теорема. Пусть функции определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция также имеет первообразную и справедлива формула .

Доказательство. Из равенства следует, что . Первообразной функции на промежутке Х является функция . Функция имеет первообразную на Х по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на промежутке Х. Интегрируя последнее равенство, получаем .

43.Интегрирование дробно-рациональных функций. (Метод неопределённых коэффициентов)

Правильная дробь, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, если степень многочлена в числителе больше чем степень многочлена в знаменателе, то дробь неправильная. Тогда делим числитель на знаменатель и получаем некоторый многочлен и правильную рациональную дробь.

Теорема. Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представлен в виде где α, β, …,p, q, u, v, …-вещественные числа, то эту функцию можно единственным образом представить в виде где A_1, A₂, …, A_γ, …, M₁, N₁, M_2, N₂, …, M_t, N_t, … -некоторые вещественные числа. Данное выражение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби. Равенство имеет место для всех х, не являющихся вещественными корнями многочлена Q(x). Чтобы определить коэффициенты A_1, A₂, …, A_γ, …, M₁, N₁, M_2, N₂, …, M_t, N_t умножим обе части разложения на Q(x). Поскольку равенство между многочленом R(x) и многочленом, полученным в правой части, должно быть справедливо для всех х, то коэффициенты при равных степенях х равны. Приравнивая их, получаем систему уравнений первой степени, из которой найдём неизвестные числа A_1, A₂, …, A_γ, …, M₁, N₁, M_2, N₂, …, M_t, N_t.