9 .2. Расчетная схема и дифференциальные уравнения

Как двухфазные, так и трехфазные асинхронные электродвигатели принято описывать системой дифференциальных уравнений в неподвижной системе коор­динат . При этом трезхфазные маши­ны приводят к двухфазным по методике, изложенной в п.4.3. Расчетная схема АД представлена на рис.9.1.

Система дифференциальных урав­нений имеет вид

ЭДС вращения, вводимые в уравнения обмоток ротора, опре­деляются как

Потокосцепления обмоток машины

где , - коэффициенты самоиндукции обмоток статора и ротора, - коэффициент взаимоиндукции между контурами статора и рото­ра при совпадении их осей. Уравнение равновесия моментов

При записи через потокосцепления pi токи электромагнитный момент для трехфазного АД

Нелинейная система уравнений (9.1) - (9.5) может быть реше­на на ЭВМ численными методами.

9.3. Уравнения состояния и структурная схема асинхронного электродвигателя

Заменяя токи в выражении (9.5) получаем

Систему уравнений АД (9.1) - (9.5) представим записанной в форме Коши, одновременно заменяя токи обмоток через функции потокосцеплений. Из системы уравнений (9.2) находим

Подставляем полученные значения токов и момента в уравне­ния (9.1) и (9.3), обозначая

Получаем

Уравнения (9.8)-(9.9) можно рассматривать как уравнения состояния АД. В качестве переменных состояния здесь выступают проекции потокосцеплений на ортогональные оси и угловая частота вращения ротора. Внешними воздействиями на двигатель являются напряжения статора (образующие вектор управления) и момент сил сопротивления (вектор возмущений). Так как уравнения (9.8) - (9.9) нелинейны (содержат произведения переменных состояния) и реше­ния в общем виде не имеют переходные процессы АД исследуют обычно моделированием на ЭВМ. Для удобства составления алго­ритма моделирования уравнения равновесия напряжений можно за­писать в матричной форме.

Структурную схему АД можно построить, если перейти от системы дифференциальных уравнения (9.8)-(9.9) к операторным уравнениям. Для удобства изображения структурной схемы вводим следующие обозначения

Структурная схема АД представлена на рис.9.2,

9.4. Передаточная функция асинхронного электродвигателя

Рассмотрим динамику работы АД при управлении напряже­нием, подаваемом на обмотку статора. Электромагнитными пере­ходными процессами пренебрегаем и рассматриваем только элек­тромеханический процесс, В общем виде момент вращения электро­двигателя является функцией частоты вращения и напряжения на зажимах обмотки статора, а статический момент сопротивления за­висит от частоты вращения. Уравнение движения

Изменение напряжения, подаваемого на обмотку статора, на AU вы­зывает соответствующие изменения моментов и частоты вращения:

В этих выражениях

Подставляем полученные выражения в (9.12),получаем

Разделим все члены уравнения (9.13) на множитель (M_ст /   M/ ) и введем следующие обозначения:

J_ /(M_ст /   M/ ) = Т_эм - электромеханическая посто­янная времени переходных процессов,

(M/U) /(M_ст /   M/ ) = k_дв - коэффициент передачи электродвигателя. Получаем

Полученное дифференциальное уравнение движения ротора переводим в операторную форму заменой мгновенных значений ве­личин их интегральными отображениями и оператора на опера­тор Лапласа . Получаем

При единичном сигнале , . Таким образом, передаточная функция АД при управлении напряжением, подаваемом на обмотку статора, имеет вид

Следует иметь в виду, что k_дв и Тэм переменные параметры, значения которых зависят от точки на механической характеристике, около которой происходит регулирование.

Передаточная функция АД при частотном регулировании. Получить точное выражение передаточной функции АД, отражаю­щей электромагнитные и механические переходные процессы при частотном регулировании, не представляется возможным, потому что имеют место существенные нелинейности, связанные с преобра­зованием управляющего сигнала в частоту напряжения, питающего электродвигатель. Вопрос осложняется также наличием двух конту­ров регулирования по двум взаимосвязанным входам - амплитуде и частоте напряжения. Попытки аналитического выражения процессов при изменении частоты питающего напряжения далеко нельзя счи­тать завершенными и даже полностью разрешимыми /60/. Поэтому для электроприводов с частотным управлением особое значение имеют методы моделирования на ЭВМ.

С перечисленными ниже допущениями делается вывод передаточной функции частотно регулируемого асинхронного элек­тропривода. Рассматривается ненагруженная машина с М_ст = 0. Это позволяет принять установившиеся значения токов ротора равными нулю , . Вводится расчетный намагничивающий ток

Считают, что намагничивающий ток, как при холостом ходе, так и под нагрузкой содержит только реактивную составляющую. При малых изменениях частоты напряжения будет изменяться только активная составляющая тока ротора, реактивной составляю­щей пренебрегают. Пренебрегают величинами второго порядка ма­лости. Таким образом, исследуется вращение ротора в магнитном поле постоянной амплитуды, вращающемся с заданной частотой при скачкообразном изменении частоты питающего напряжения. Пере­даточная функция при принятых условиях

где a= r₂ /L_2; b = L_m /L_2; d = 2 J/(3 p² L_m); I_0 -установившееся значение тока намагничивания.

Передаточная функция АИД. Передаточная функция АИД имеет вид (9.16) с учетом того, что коэффициент передачи и элек­тромеханическая постоянная времени зависят от коэффициента управления , равного отношению напряжения управления к напря­жению возбуждения (Расчётная схема АИД приведена на рис. 9,15). Рекомендуются следующие зависимости

где Т₀ = J_₀ / М_п - электромеханическая постоянная времени при коэффициенте управления .