14. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Пусть члены положительной последовательности , монотонно убывая, стремятся к нулю при . Тогда ряд сходится.

Доказательство. Рассмотрим последовательность четных частных сумм . Очевидно, что с ростом значения возрастают. Теперь запишем эту же частную сумму в ином виде: . Очевидно, что . Таким образом, мы имеем монотонно возрастающую ограниченную сверху последовательность . По одному из свойств последовательностей существует . Итак, последовательность частных сумм с четными номерами имеет предел. Что же с нечетными частными суммами?

Так как и , то существует . Следовательно, существует .

Пример. Ряд сходится по признаку Лейбница при любом .

В предыдущем примере, опираясь на интегральный признак, мы показали, что этот ряд при сходится абсолютно. При ряд не может абсолютно сходиться. Но он сходится по признаку Лейбница.

Ряд, сходящийся, но не сходящийся абсолютно, называется условно сходящимся.

15.Пусть – последовательность функций, заданных на одном и том же множестве, причем при каждом значении числовой ряд сходится. Тогда мы можем рассматривать функциональный ряд на множестве и исследовать свойства функции – суммы ряда – на том же множестве .

В связи с вопросами сходимости функциональных рядов отметим следующий из теоремы сравнения мажорантный признак сходимости функционального ряда: если такое что и ряд с положительными членами сходится, то функциональный ряд абсолютно сходится на множестве .

16. Степенные ряды

Простейшим примером функционального ряда является степенной ряд – ряд вида . Числа , называются коэффициентами степенного ряда. Поскольку простой заменой переменной исходный степенной ряд превращается в ряд , мы будем рассматривать только степенные ряды вида . Очевидно, что такой ряд обязательно сходится в точке . Ответом на вопрос об области сходимости степенного ряда дает

Теорема Абеля. Пусть ряд сходится в точке , тогда он сходится, причем абсолютно, при .

Пусть ряд расходится в точке , тогда он расходится при .

Доказательство. Так как ряд сходится, то общий член этого ряда стремится к нулю, и значит, ограничен, то есть, тчо .

Пусть тогда . Так как ряд сходится, то по теореме сравнения абсолютно сходится ряд .

Так как расходится, то не может сходиться ни при каких значениях , так как в противном случае он бы сходился, в соответствии с доказанной частью теоремы, и при .

Из теоремы Абеля следует, в частности, что область сходимости степенного ряда представляет собой некоторый интервал , а область расходимости – внешность этого интервала. Что касается двух точек , являющихся границами этого интервала, то сходимость или расходимость ряда в этих точках следует проверять для каждой функции индивидуально.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

17.Способы определения радиуса сходимости степенного ряда

1. В соответствии с признаком Даламбера если , то сходится, если , то ряд расходится. Следовательно, при имеем: или .

2. Аналогично используя признак Коши, получим .

П р и м е р 1. Найти область сходимости степенного ряда . Найдем радиус сходимости. Здесь . Следовательно, .

Проверим сходимость в точке . Имеем ряд , который сходится, если и расходится, если .

Проверим сходимость в точке . Имеем ряд , который сходится, если и расходится, если .

Замечание. Внутри интервала сходимости ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз. Это значит, что если , то 1) ,

2) .

18.Связь между коэффициентами степенного ряда и его суммой

Итак, пусть . Положим , тогда получим:

.

Возьмем производную от членов ряда и его суммы: и положим . Тогда . Продолжая процесс дифференцирования, получим: .

То есть, . Таким образом, коэффициенты степенного ряда являются коэффициентами формулы Тейлора для суммы ряда.

Поставим вопросы: если для произвольной функции , имеющей бесконечное число производных в точке построить ряд , называемый рядом Тейлора функции , то

1) где он будет сходиться, и

2) если будет сходиться, то будет ли сходиться к самой функции ?

Ответы на поставленные вопросы.

1) Так как ряд Тейлора – это степенной ряд, то для него обычным образом можно находить радиус и интервал сходимости. То есть, .

2) Так как частная сумма ряда Тейлора – это многочлен из формулы Тейлора , то разность между частной суммой и функцией согласно формуле Тейлора есть остаточный член формулы Тейлора. Мы его рассматривали в форме Лагранжа: . Таким образом, если внутри интервала сходимости остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю с ростом , то сумма ряда Тейлора совпадает с исходной функцией, по которой построен ряд. И тогда говорят, что функция представима в виде ряда Тейлора, то есть

.