14. Операция минимизации арифметических функций.
15. Частично рекурсивные функции и тезис Чёрча.
Функция f называется частично рекурсивной функцией, если она может быть получена из следующих простейших функций:
1) функции следования s(x)=x+1,
2) нулевой функции o n(x1,x2, ... , xn)=0,
3) функции проектирования I nm(x1,x2, ... ,xn)=xm с помощью конечного числа применений операторов
суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
Эквивалентное определение
Как и при определении примитивной рекурсивности, можно выразить определение частично рекурсивной функции в виде трех правил.
Простейшие функции
функция следования s(x)=x+1,
нулевая функция o n (x1 ,x2 , ... , xn )=0,
функция проектирования I n m(x1,x2, ... ,xn)=xm
► частично рекурсивны.
2. Если функция f получена из частично рекурсивных функций с помощью операторов суперпозиции, примитивной рекурсии или минимизации, то функция f частично рекурсивна.
3. То, что функция f частично рекурсивна, устанавливается несколькими применениями правил 1) и 2).
► Всякой частично рекурсивной функции можно приписать n- наименьший номер шага, на котором она может быть получена.
В отличие от определения примитивной рекурсивности, где имелись два оператора, теперь имеются три оператора для получения частично рекурсивных функций. Ясно, что всякая примитивно рекурсивная функция является частично
рекурсивной функцией. Оператор минимизации может вырабатывать не всюду определенные функции, а примитивно рекурсивные функции всюду определены. Поэтому существуют частично рекурсивные функции, которые не являются
примитивно рекурсивными функциями. Ранее мы сформулировали понятие вычислимой рекурсивной функции и отметили, что
это нестрогое, интуитивное понятие. Однако для приведенного выше понятия частично рекурсивной функции справедливо следующее утверждение.
► Понятие частично рекурсивной функции является строгим математическим понятием.
Всюду определенная, рекурсивная функция называется общерекурсивной функцией. Словосочетание «функция f частично рекурсивна» будем заменять на более краткое словосочетание «f рекурсивна».
► Тезис Черча. Каждая вычислимая функция частично рекурсивна. Сможем ли мы доказать тезис Черча? Нет, т.к. у нас нет точного определения вычислимой функции. Тезис Черча - это просто строгое определение алгоритма. Это положение является соглашением, возникшим в результате длительного исследования интуитивного понятия алгоритма. Показана рекурсивность огромного количества вычислимых функций. Никто не сумел построить вычислимую функцию, рекурсивность которой нельзя было бы доказать, или хотя бы указать правдоподобный метод построения такой функции. Тезис Черча является естественнонаучным фактом, который подтверждается опытом, накопленным математикой за весь период ее развития. Тезис Черча является достаточным средством, чтобы придать необходимую точность ормулировкам алгоритмических проблем и делает возможным доказательство их неразрешимости.