Вопросы к экзамену по ВМ I семестр
.doc
Раздел 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Тема 1 Задачи, моделируемые системами линейных равенств и
неравенств
Задачи линейного программирования.
Три основных типа задач линейного программирования.
Транспортная задача.
Задача составления производственного плана.
Задача составления смеси.
Система ограничений. Целевая функция.
Графический способ решения.
Тема 2 Определители второго порядка и системы линейных
уравнений
Матрицы. Основные определения.
Определение детерминанта.
Теорема Крамера.
Схема решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей. Примеры решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Тема 3 Определители третьего порядка
Определение определителя третьего порядка. Примеры вычисления определителей третьего порядка.
Свойства нахождения определителя.
Разложение определителя по элементам строки (столбца).
Определение определителя n-го порядка. Вычисление определителей.
Тема 4 Метод координат
Определение положения точки на прямой.
Прямоугольные декартовы координаты на плоскости, в пространстве.
Полярные координаты.
Простейшие задачи аналитической геометрии. Задача определения расстояния между двумя точками.
Задача о делении отрезка в данном отношении.
Уравнение линии на плоскости. Схема получения уравнения линии.
Уравнение поверхности. Уравнения пространственной линии.
Примеры применения метода координат.
Тема 5 Прямая линия на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пучок прямых.
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Параметрические уравнения прямой.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема 6 Кривые второго порядка
Эллипс, гипербола, парабола.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.
Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.
Общее уравнение второй степени и кривые второго порядка.
Тема 7 Понятие линейного пространства
Векторы, основные понятия.
Линейные операции над векторами. Основные свойства линейных операций.
Прямоугольные декартовы координаты вектора в пространстве.
Длина вектора.
Направляющие косинусы вектора.
Переход от векторных соотношений к координатам и обратно.
Тема 8 Линейная зависимость и независимость нескольких векторов
Определения и примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов.
Необходимые и достаточные условия линейной зависимости векторов.
Размерность и базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.
Задание траектории вектор-функцией скалярного аргумента. Примеры траекторий движущейся точки.
Тема 9 Нелинейные операции над векторами
Скалярное произведение двух векторов. Примеры применения скалярного произведения двух векторов.
Векторное произведение двух векторов. Определение, механический смысл и геометрические свойства векторного произведения.
Необходимое и достаточное условия коллинеарности двух векторов.
Алгебраические свойства векторного произведения.
Векторное произведение двух векторов в координатной форме. Примеры применения векторного произведения двух векторов.
Смешанное произведение трех векторов. Необходимое и достаточное условия компланарности трех векторов.
Смешанное произведение трех векторов в координатной форме.
Тема 10 Плоскость и прямая в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.
Векторно-параметрическое уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Угол между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Угол между прямой и плоскостью.
Угол между двумя плоскостями.
Раздел 2 Введение в математический анализ
Тема 1 Функции
Определение числовой действительной функции одной действительной переменной.
Примеры и способы задания функции одной переменной.
Пределы. Определения пределов.
Основные теоремы о пределах функций.
Тема 2 Некоторые важные пределы
Первый замечательный предел. Применение первого замечательного предела.
Предел монотонной ограниченной функции.
Второй замечательный предел. Применение второго замечательного предела.
Раскрытие неопределенностей.
Тема 3 Непрерывность функции
Определение непрерывности функции в точке.
Примеры непрерывных и разрывных в точке функций.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций.
Свойства непрерывных функций.
Тема 4 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение бесконечно малой функции и примеры.
Свойства бесконечно малых функций.
Определение бесконечно большой функции и примеры.
Сравнение бесконечно малых функций.
Применение бесконечно малых функций при вычислении пределов.
Раздел 3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Тема 1 Производная и дифференциал функции
Определение производной. Ее геометрический и физический смысл.
Основные привила дифференцирования. Основные формулы дифференцирования.
Определение дифференцируемой в точке функции.
Связь между дифференцируемостью функции и существованием производной.
Определение и геометрический смысл дифференциала.
Свойства дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Тема 2 Исследование функции и построение ее графика
Исследование функции на монотонность.
Примеры и схема исследования на монотонность.
Исследование функции на экстремум.
Примеры и схема исследования на экстремум.
Исследование функции на выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба.
Примеры и схема исследования на выпуклость и точки перегиба.
Нахождение вертикальных асимптот графика функции.
Необходимые и достаточные условия наклонных асимптот графика функции.
Тема 3 Глобальные свойства непрерывных функций
Непрерывность функции на промежутке.
Определения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Важные свойства функций, непрерывных на отрезке.
Применение глобальных свойств непрерывных функций к решению задач на наибольшее и наименьшее значения функции.
Задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функций. Схема решения таких задач.
Раздел 4 Функции нескольких переменных
Тема 1 Понятие функции нескольких переменных
Определение действительной функции нескольких действительных переменных.
Способы задания функции нескольких переменных.
Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии уровня функции нескольких переменных.
Предел функции двух переменных. Примеры вычисления пределов.
Непрерывность функции двух переменных. Примеры непрерывных и разрывных функций.
Тема 2 Частные производные
Определения частных и полного приращений функции нескольких переменных.
Определения частных производных. Вычисление частных производных.
Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных.
Частные производные высших порядков. Примеры вычисления частных производных высших порядков.
Тема 3 Экстремум функции двух переменных
Определения максимума и минимума.
Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных. Схема нахождения экстремума. Примеры на вычисление экстремума.
Глобальное свойство непрерывной функции двух переменных в замкнутой ограниченной области и его применение к решению задач на наибольшее и наименьшее значения функции.
Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции. Схема решения таких задач.
Тема 4 Метод наименьших квадратов при составлении эмпирических формул
Определение эмпирических формул.
Задача о составлении эмпирической формулы.
Критерий, лежащий в основе метода наименьших квадратов.
Определение параметров эмпирической формулы по методу наименьших квадратов в случае линейной зависимости.
Нормальная система и теория экстремумов функции нескольких переменных.
Рекомендуемая литература
Основная
Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики [Текст] / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: Наука, 1985.
Гусак, А. А. Высшая математика [Текст] / А.А. Гусак. – Мн.: ТетраСистемс, 2001.
Гусак, А. А. Сборник задач и упражнений по высшей математике [Текст] / А.А. Гусак. – Мн.: Вышэйшая школа, 1980.
Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике [Текст] / А.А. Гусак. – Мн.: Вышэйшая школа, 1988.
Гусак, А.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач [Текст] / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. -- Мн.: ТетраСистемс, 2002.
Дополнительная
Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии [Текст] / Н.В. Ефимов. – М.: Наука, 1972.
Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике [Текст] / В.П. Минорский. -- М.: Наука.
Гильдерман, Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов / Ю.И. Гильдерман. – Новосибирск: Наука, 1974.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] / Н.С. Пискунов. -- М.: Наука.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1999.
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа.