2.2 Фундаментальная система решений. Общее решение однородного лду. Задача Коши

Определение «фундаментальная система решений» является основополагающим при построении решения ЛДУ порядка n. Легко заметить, что это понятие базируется на вышеизложенных определениях и критериях о линейной зависимости (или независимости) функций.

Совокупность решений ЛДУ, определённых и линейно независимых в интервале , называется фундаментальной системой решений (ФСР) в этом интервале. Для того чтобы система из решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих решений был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала непрерывности коэффициентов уравнения (2.2), т.к. если вронскиан отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала , то он отличен от нуля на всём интервале. Все решения ненулевые.

Теперь, используя третье свойство решений ЛДУ, мы можем записать общее решение однородного дифференциального уравнения.

Если – фундаментальная система решений уравнения , то

(2.4)

есть общее решение однородного ЛДУ порядка в области:

, , ,… ,

( – произвольные постоянные числа).

Продифференцируем (2.4) раз:

(2.5)

Если мы зададим числовые значения , , …, , то сможем разрешить линейную систему уравнений (2.5) по отношению к , причём единственным образом, так как определитель этой системы (вронскиан) не равен нулю. В выражении (2.4) содержатся все решения уравнения .

Подставив найденные коэффициенты в (2.4), получим решение задачи Коши для однородного уравнения порядка с начальными условиями .

2.3 Решение однородных лду порядка n с постоянными коэффициентами

Однородные ЛДУ порядка с постоянными коэффициентами записываются следующим образом:

(2.6)

где – вещественные константы.

Задача построения общего решения (2.6) будет решена, если будет найдена фундаментальная система решений.

1. Случай действительных различных корней характеристического уравнения

Для уравнения первого порядка

,

решение запишется в виде

Эйлер предложил и решение уравнения (2.6) искать в таком же виде, т.е. . Если данная функция  решение (2.6), то она должна обращать это уравнение в тождество:

где

– характеристический полином, который легко получить из однородного ЛДУ, заменив производные от на  в соответствующей степени. При коэффициенте ⁰=1. Ясно, что  решение для тех , которые обращают в нуль.

Тогда – характеристическое уравнение. Его корни – характеристические числа однородного уравнения.

Пусть все - различные и вещественные числа. Подставив в функцию , найдём вещественных частных решений (2.6):

Эти решения  линейно независимые (их вронскиан не равен нулю для всех ), т.е. составляют фундаментальную систему решений (ФСР).

Тогда согласно (2.4)

есть общее решение линейного однородного уравнения порядка с постоянными коэффициентами (2.6), где:

– характеристические числа;

– произвольные коэффициенты;

– порядок уравнения (порядок старшей производной);

– фундаментальная система решений.

Задача Коши для заданных числовых значений приводит к решению системы алгебраических уравнений (2.5) относительно .

Пример. Дано дифференциальное уравнение

.

Характеристический полином запишется в виде

а характеристические числа (корни данного полинома) будут

Тогда ФСР, а общим решением будет функция

Решим задачу Коши для начальных условий:

Запишем по (2.5) систему уравнений для заданных начальных условий:

После подстановки численных значений начальных условий получим систему алгебраических уравнений по отношению :

Решив последнюю систему, получим: =0.5, =1, = -0.5, и решение в форме Коши будет иметь вид

2. Случай различных комплексных корней характеристического уравнения

Пусть среди корней характеристического полинома есть некоторый комплексный корень:

где и – числа, .

Так как все коэффициенты полинома вещественные, тогда есть и сопряжённый ему корень

.

Таким образом, решение для корня будет комплексным.

Ранее было показано, что каждая комплексная функция, являющаяся решением ЛДУ, порождает два вещественных решения, причём линейно независимых , т.е. входящих в фундаментальную систему решений:

Для сопряжённого корня решениями будут:

При этом первые решения совпадают, а вторые  линейно зависимы. Таким образом, сопряжённый корень не порождает новых вещественных, линейно независимых решений, и соответствующие ему функции не включаются в ФСР.

Всего получим решений вида:

образующих фундаментальную систему решений, а общее решение запишется в следующей форме

.

Если число комплексных корней больше двух, то в этом случае общее решение запишется в виде

(2.7)

где – число корней действительных разных;

– порядок дифференциального уравнения;

;

– число комплексных и сопряжённых корней;

Пример. Построим общее решение уравнения

.

Найдем характеристическое уравнение и его корни:

Фундаментальной системой решений, для данных , будут функции:

Тогда общим решением заданного однородного уравнения с постоянными коэффициентами будет функция

.

3. Случай кратных корней.

Для пояснения термина «кратные корни» рассмотрим полином второго порядка .

Тогда: , .

В примере полином имеет два кратных корня. В общем случае число кратных корней может быть (  ), где  порядок дифференциального уравнения (порядок полинома).

Теперь изучим, как наличие кратных корней связано с построением ФСР для уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть ₁ – кратный корень характеристического уравнения. Тогда

(2.8)

То есть производные от по при до порядка равны нулю. Продифференцируем раз по тождество

и получим

(2.9)

Напомним, что дифференциальный оператор, определяющий конкретный вид уравнения.

В (2.9) производная порядка от характеристического полинома по переменной . Тогда на основании (2.8):

(2.10)

Отсюда функции: являются решениями уравнения (2.6). Они линейно независимы (их вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала по ) и составляют фундаментальную систему из K решений.

Пример 1. Построим общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение и его корни равны:

, , .

Тогда ФСР запишется следующим образом:

а общее решение: .

Пример 2. Построим общее решение уравнения

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

B данном примере мы имеем корни комплексные сопряжённые, кратные. Для построения ФСР воспользуемся общими правилами, с которыми уже знакомы: сопряжённые корни ( ) не порождают новых, линейно независимых решений, а для .

Тогда ФСР будет

а общее решение

В заключение этого раздела укажем последовательность действий при решении однородных уравнений порядка с постоянными коэффициентами.

1. Записываем характеристический полином .

2. Находим характеристических корней этого полинома.

3. Записываем ФСР согласно виду характеристических чисел (корни действительные разные; комплексные; кратные).

4. Записываем общее решение.

5. Решаем задачу Коши (если заданы начальные условия):

а) вычисляем (n-1) производных от общего решения;

_{б) в полученную систему уравнений подставляем численные значения:}

в) решаем полученную систему алгебраических уравнений по отношению к произвольным коэффициентам ;

г) записываем общее решение в форме Коши с найденными числовыми значениями .