1.5 Уравнения в полных дифференциалах
К этому типу уравнений приводятся другие виды уравнений и, кроме этого, изучение уравнений в полных дифференциалах необходимо для понимания важных вопросов в теории дифференциальных уравнений.
Уравнениями в полных дифференциалах называются уравнения вида:
(1.20)
(1.21)
левая
часть которых есть полный дифференциал
некоторой функции
,
при этом
и
непрерывны по
и
в некоторой односвязной области (без
“дырок”) и ни в одной точке этой области
не обращаются в нуль одновременно,
т.к. для общего вида изучаемых уравнений
в случае одновременного равенства этих
функций нулю, производная в этой точке
не определена:
.
Если
полный дифференциал
,
тогда
–
общий интеграл (
константа). Заметим, что полным
дифференциалом функции двух переменных
будет выражение
где
при вычислении частных производных
,
по соответствующим переменным, вторая
рассматривается как параметр или
константа.
Пример 1. Вычислив интегралы по соответствующим переменным, получим общее решение:
Пример 2. Проведём преобразование и исходное уравнение заменим суммой дифференциалов от соответствующих переменных:
Воспользуемся одним из свойств дифференциалов, а именно: сумма дифференциалов равна дифференциалу суммы:
Тогда
– общий интеграл.
Как узнать, что слева в уравнении полный дифференциал? Как построить общий интеграл?
Признак уравнения в полных дифференциалах Построение общего интеграла.
Из вышесказанного можно записать:
То есть:
Вычислим вторые смешанные производные от функции :
Так как
то
(1.22)
необходимое и достаточное условие того, чтобы левая часть (1.20) была полным дифференциалом.
Из
условия
вычислим
(1.23)
где
- произвольная, дифференцируемая по
функция. Выберем её так, чтобы
Тогда
.
В
данном случае переменная
– параметр
и можно внести оператор дифференцирования
под интеграл, т.к.
непрерывна по
вместе с
.
С условием (1.22) получим:
,
или
.
Тогда
Подставим выражение для в (1.23) и получим общий интеграл уравнения (1.20):
.
Если
в основу построения общего интеграла
положить выражение
,
то получим для него равносильную формулу:
(1.24)
Задача Коши.
Задав
в любом из полученных аналитических
выражениях для
числовые значения
и
(начальные условия) при C=0, получим
решение в форме Коши:
(1.25)
Пример. Перед построением общего интеграла проверим выполнение необходимого и достаточного условия.
Таким образом, условие, необходимое и достаточное для того, чтобы данное уравнение было в полных дифференциалах, выполняется.
Тогда построим общий интеграл по выражениям (1.23) и (1.24):
Получим
одно и то же решение:
Где
Пусть
,
а
(задача Коши). Тогда
.
Интегрирующий множитель
В предыдущем разделе мы видели, что уравнение в полных дифференциалах всегда интегрируется (в крайнем случае, решение находится в квадратурах).
Естественно
возникает вопрос: нельзя ли уравнение
не в полных дифференциалах (у которого
не выполняются условия (1.22)) привести к
уравнению в полных дифференциалах.
Обычно это удаётся сделать, т.е. найти
функцию
,
после умножения на которую уравнение
(1.26)
преобразуется в уравнение в полных дифференциалах:
(1.27)
Такая
функция
называется интегрирующим множителем,
а функция
соответствующим
ему интегралом уравнения (1.26). При этом,
так же как и в предыдущем разделе,
предполагаем, что
и
непрерывны вместе с частными производными
и
в некоторой односвязной области и ни в
одной точке этой области не обращаются
в нуль одновременно, а от интегрирующего
множителя требуем, чтобы он не обращался
в нуль и имел непрерывные частные
производные первого порядка.
Применяя признак полного дифференциала (1.22) к уравнению (1.27), получим:
(1.28)
Это
уравнение с частными производными
неизвестной функции
(
и
определены). В некоторых случаях легко
найти решение уравнения (1.28), т.е.
интегрирующий множитель для (1.26).
Предположим,
что для (1.26)
,
т.е.
зависит только от одной переменной.
Тогда
и из (1.28) получим
или
(предполагая, что
)
(1.29)
В (1.29) левая часть зависит только от . Тогда и правая часть должна зависеть только от :
(1.30)
Тогда (1.29) запишется как
откуда
(1.31)
В качестве примера найдём интегрирующий множитель для линейного неоднородного уравнения, общий интеграл которого мы умеем строить:
.
Перепишем его в дифференциальной форме:
Проверяя выполнение условия (1.30), получим
.
Следовательно, функция
– интегрирующий множитель линейного уравнения.
В случае если интегрирующий множитель зависит только от , уравнение (1.28) принимает вид
или
(если
)
Если выполняется условие
то интегрирующий множитель вычисляется по формуле, аналогичной выражению (1.31):
(1.32)
Пример. Дано уравнение
.
Для этого уравнения необходимое и достаточное условие (1.22) не выполняется:
Проверим (по (1.30)), имеет ли оно интегрирующий множитель, зависящий только от :
То есть (1.30) выполняется и тогда
По выражению (1.27) получим новое уравнение уже в полных дифференциалах:
.
Проинтегрировав его, получим общее решение:
.
Рассмотрим общий случай, когда
интегрирующий множитель является
функцией от другой заданной функции
.
Тогда (1.28) запишется как
(1.33)
Отсюда получим
(1.34)
Последнее выражение подразумевает, что знаменатель не равен нулю. Тогда
Пользуясь
условием (1.34), мы можем найти условие
существования интегрирующего множителя
заданного вида. Например,
зависит только от произведения
,
т.е.
,
или (из (1.34))
(здесь
).
Зная интегрирующий множитель, мы можем найти не только общий интеграл уравнения, но также и все особые решения.
Так как
,
то
.
Данное
уравнение можно переписать как
.
Это уравнение распадается на два:
и
.
Первое
приводит к общему интегралу
,
а второе может привести к особому
решению.
Таким образом, особым решением исходного уравнения (1.26) может быть только такое решение, вдоль которого интегрирующий множитель обращается в бесконечность.
Тогда можно сформулировать правила нахождения особых решений:
найти линии, вдоль которых обращается в бесконечность;
проверить, являются ли линии интегральными кривыми;
проверить, содержатся ли найденные решения в общем решении или нет (т.е. существует ли константа для общего решения, при которой получается рассматриваемое решение).