1.2 Геометрическое истолкование решений Поле направлений. Интегральные кривые. Задача Коши

Пусть правая часть в (1.2) определена и конечна в каждой точке области на плоскости . Через точку проведём отрезок единичной длинны (его середина в точке ) под углом к оси . Тангенс этого угла – (рис. 1). Так как в (1.2) определена, через любую точку из мы можем провести единичный отрезок с углом _, при этом . Тогда для множества точек ( ) можно сказать, что уравнение (1.2) определяет некоторое поле направлений (рис. 2).

Рис. 1. Единичный отрезок

Рис. 2. Поле направлений

Тогда функция , у которой производная в каждой точке из совпадает с направлением поля в этой точке, называется интегральной кривой. Т. е. является решением данного уравнения. Напомним, что производная от функции в заданной точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к функции в данной точке. Это свойство и выделяет подмножество интегральных кривых из множества всех функций из , имеющих непрерывные производные в рассматриваемой области переменных и . Решить уравнение первого порядка и означает восстановить по полю направлений семейство интегральных кривых.

В приведённом ниже примере даётся три решения одного и того же уравнения. В первом и третьем решениях константы одинаковы по величине, но разного знака, а в константа равна 0. Производные всех функций одинаковы. Графики полученных решений приведены на рис. 3.

Пример:

с – константа.

Все функции обладают общим свойством: в точке

Рис. 3. Семейство решений

1 – с=2, 2 – с=0, 3 – с=-2

Из выше изложенного ясно, что дифференциальное уравнение имеет множество решений, отличающихся на константу.

А как выбрать одну кривую? Это одна из важнейших задач в теории дифференциальных уравнений и называется задачей Коши. Для (1.2) она формулируется следующим образом: из всех решений заданного дифференциального уравнения найти такое решение , в котором принимает заданное числовое значение при заданном числовом значении независимой переменной , т. е. , где и начальные условия.

Геометрическая интерпретация задачи Коши: среди всех интегральных кривых уравнения (1.2) найти ту, которая проходит через заданную точку .

Из этого примера нетрудно заметить, что решения отличаются друг от друга на константу. Если при заданных начальных условиях найти и подставить в общее решение, то получим результат в форме Коши.

Пусть в последнем примере

, , .

Тогда 2=1+C, C=1 и решение в форме Коши.

После знакомства с вышеизложенным материалом, мы можем приступить к изучению методов построения общего решения ДУ.

1.3 Уравнений с разделяющимися переменными

Вначале мы построим общий интеграл для самых простых уравнений вида

(1.6)

Они называются уравнениями с разделёнными переменными. Это такие уравнения, у которых коэффициенты при дифференциалах зависят только от одной переменной.

Тогда

или

(1.7)

Это общий интеграл (общее решение) уравнения (1.6).

В (1.7) можно не указывать пределов интегрирования, т. к. числа, полученные от нижних пределов, можно включить в константу C.

Таким образом, построение общего решения уравнений с разделёнными переменными сводится к процедуре взятия неопределённых интегралов по соответствующим переменным:

(1.8)

Подставив в полученные после интегрирования выражения начальные условия , найдём значение , т. е. получим решение в форме Коши.

К уравнению с разделёнными переменными приводятся уравнения вида

(1.9)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Функции , , , непрерывны для всех рассматриваемых и .

Умножим (1.9) на :

(1.10)

Если это уравнение представить, как разрешённое относительно производной, то получим

(1.11)

Общий интеграл для (1.10) запишется так же, как для уравнения с разделёнными переменными:

(1.12)

где и . Если в (1.12) ,то получим решение с начальными условиями .