4.9 Некоторые признаки существования и отсутствия предельных циклов

Дана система ДУ:

(4.15)

Гладким циклом однократного пересечения называется простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следующими свойствами:

На кривой С не лежит ни одного состояния равновесия.
Во всех точках кривой С траектории не имеют с ней касания и либо все входят внутрь, либо все выходят из области С.

Тогда, если С-цикл однократного пересечения,G ограниченная им область, принадлежащая области определения (4.15) и при этом:

1)все траектории, пересекающие С, при возрастании t входят в область G;

2)в области G имеется единственное состояние равновесия в т.(0,0), являющееся не устойчивым узлом или не устойчивым фокусом, то С устойчивый предельный цикл.

Критерий Бендиксона отсутствия предельных циклов

Если в области G выражение не меняет знак и не равно 0 тождественно, то в этой области не существует замкнутых контуров, составленных из траекторий.

4.10 Использование точечных отображений для изучения фазовых портретов

На фазовой плоскости возьмём отрезок AB: (дуга без контакта, т.е. на ней нет особых точек и фазовые траектории не являются её касательными).

Пусть дуга АВ- параметрическая кривая: , где S параметр. Обозначим через S координату произвольной точки Q на АВ. Пусть x=x(t) и y(t) фазовые координаты траектории, проходящей через точку Q. С увеличением t фазовая траектория снова пересечёт АВ в точке Q⁺(параметр S⁺). Точка Q⁺ (первого следующего пересечения АВ той же фазовой траекторией) называется последующей по отношению к исходной точке Q. Рис.33.

Рис. 33. Построение точечных отображений

Зависимость S⁺ =f(S) последующего значения параметра, при пересечении фазовой траекторией дуги АВ от предыдущего в силу решения уравнения (1), называется функцией последования. Она определяет закон точечного преобразования для данной не линейной системы.

Для функции последования справедливо следующее:

1)функция последования, для аналитической системы (4.15),тоже является аналитической функцией;

2)производная от функции последования всегда больше 0. Это является следствием того факта, что траектории не пересекаются.

Возможен случай, когда последующая точка Q⁺ совпадёт с исходной Q, т.е. f(s) =s=s^*. При этом мы получаем замкнутую фазовую траекторию (предельный цикл или кривую соответствующую особой точке «центр»). Это траектория L₀ на Рис.33 показана точками. Рассмотрим последовательные точки пересечения с АВ другой траекторией L.

L пересекает АВ в точках S₁…S_n.

При этом S₂=f(S₁); S₃=f(S₂); …S_n+1=f(S_n). 4.16

Если L→L₀ при t→∞ , то последовательность 4.16 стремится к S^* . Не подвижная точка S^* отображения S⁺=f(S) называется устойчивой, если существует такая её окрестность, что все последовательности 4.16 с начальным значением S₁ в её окрестности → к S^* (и наоборот –не устойчивые). Таким образом, наличие устойчивых или не устойчивых точек последовательности 4.16 говорит о наличии устойчивого или не устойчивого предельного цикла. Неподвижная точка отображения S⁺ =f(S^*) устойчива, если производная в ней f ^‘(S^*)<1 и не устойчива при f ^‘(S^*)>1. Точка пересечения биссектрисы и f(S) − S^*. Производная в точке S1^* меньше 1, и предельный цикл устойчивый Рис.34.а.