Глава 3 системы дифференциальные уравнения порядка n

3.1 Основные понятия и определения

Так называются уравнения вида

(3.1)

f_i- непрерывны на (a,b). В нашем случае – линейная комбинация . Тогда существует единственное решение (3.1) с Н.У. . Более общая запись уравнения (3.1):

Решение

,

вектор в (n+1) мерном пространстве. Его траектория – интегральная кривая. Зависимые переменные y_i в (3.1) называются фазовыми координатами. n – число фазовых координат (размерность фазового пространства). (n+1) – размерность расширенного фазового пространства (добавлена не зависимая переменная t).

Сформулируем теорему существования и единственности решения задачи Коши для такой системы уравнений.

Решение существует и оно единственно если:

в области D:

все f_i – непрерывны и все удовлетворяют условию Липшица: ,

на интервале

,

где , то решение существует и оно единственное.

При выполнении условия существования и единственности решения, через точку в фазовом пространстве проходит единственная траектория. Фазовые траектории не пересекаются.

Если (явно зависит от t) – не однородная система. - однородная (автономная ) система.

;

.

Если константы, то система с постоянной матрицей.

Рассмотрим уравнение порядка n. . Сделаем замену переменных:

.

Тогда, последовательно дифференцируя новые переменные, получим систему уравнений порядка n.

Н.У. (3.2)

Таким образом, мы привели уравнение n-го порядка, к системе порядка n. Можно и наоборот.

Некоторые свойства решений однородной системы

(3.3)

1). Пусть – совокупность комплексных решений (3.3).

Тогда

–одна строка из (3.3) при подстановке в систему уравнений. Для одного уравнения запишем:

Т.к. два комплексных выражения равны тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то

и .

Комплексные функции, составляющие решение системы (3.3), образуют два вещественных решения этой системы.

2). Пусть n решений (3.3) записано в виде таблицы:

Первый индекс – номер решения, а второй – номер функции. Покажем, что линейная комбинация данных решений с константами c_i – тоже решение уравнения (3.3). Общее решение получают при суммировании функций из таблицы решений по столбцам.

.

Система функций линейно не зависима на интервале (a,b), если есть такие , одновременно не равные 0, что выполняются условия:

В противном случае – линейно зависимые функции. Система функций ( ) называется фундаментальной, если она линейно не зависима. Для (3.3) всегда существует фундаментальная система решений, а каждое решение может быть представлено в виде:

(3.4)

Пусть система функций - ФСР.

; . (3.5)

Из (3.4) (суммируя по столбцам) получим:

……………………………………………………...

.

Более компактно эту систему решений можно записать в векторно

матричной форме:

.

- фундаментальная матрица.

3). –определитель Вронского. ни в одной точке интервала . Справедлива формула Лиувилля, которая является решением ДУ первого порядка, полученного при дифференцировании W(t) по столбцам.

.

_{4). Если} не прерывна в интервале (a, b), то существует ФСР, определённая и не прерывная в этом интервале. Все свойства и для случая