Понятие бинарные деревья. Операции над бинарными деревьями

Бинарное дерево - это конечное множество элементов, которое либо пусто, либо содержит один элемент, называемый- корнем дерева, и , возможно , другие элементы. Эти элементы делятся на два непересекающихся подмножества, каждое из которых само является бинарным деревом. Такие подмножества называются левым и правым поддеревьями исходного дерева. Каждый элемент бинарного дерева называется узлом. Будем предполагать, что каждый узел двоичного дерева имеет идентифицирующий его ключ. На рис.7 приведен пример бинарного дерева, у которого 9 узлов, A - корень дерева, B - корень левого поддерева, C - корень правого поддерева. Каждый узел двоичного дерева может иметь 0, 1 или 2 поддерева. Так на Рис.6 левое поддерево с корнем C исходного бинарного дерева пусто.

Рис.6. Бинарное дерево

Если X - корень бинарного дерева и Y - корень его левого или правого поддерева, то говорят, что X - отец Y, а Y - левый или правый сын X. В примере на рис.6 A - отец для B и C, B - левый сын A, E - отец G, G - его левый сын. Узел, не имеющий сыновей, называется листом. В нашем примере листья: D, G, H, I. Два узла являются братьями, если они сыновья одного отца (B,C - братья). Глубина бинарного дерева определяется длиной самого длинного пути от корня к листу дерева (на рис.6 глубина дерева равна 3). Каждый узел бинарного дерева содержит информационное поле, а также два указателя (на левое и правое поддерево). Очевидно, что для доступа к узлам бинарного дерева необходимо задать указатель на его корень. Рассмотрим некоторые операции, которые могут быть полезны при использовании бинарного дерева. Пусть P - указатель на узел бинарного дерева Nd. Введем следующие обозначения:

Info (P) - содержимое узла Nd; Left (P) - указатель на левого сына Nd; Right(P) - указатель на правого сына Nd. P = NewD (X) - создание нового бинарного дерева, состоящего из одного узла с информационным полем X; P - указатель на этот узел; SetLeft (P,X) - создание нового левого сына для узла с указателем P; SetRight(P,X) - создание нового правого сына для узла с указателем P.

Узел бинарного дерева представляется в программе в виде записи с соответствующими полями, например:

type     Node = ^BDer;     BDer = record         Info : integer; {информационное поле}         Left, Right: Node; {указатели на левое и правое поддеревья}     end;

Пример содержит тексты функции, реализующей операцию NewD(X), и процедур, определяющих операции SetLeft(P,X) и SetRight(P,X).

Пример

function NewD(X: integer): Node; {создание нового узла со значением X; функция возвращает указатель на новый узел X} var P: Node; begin New(P); P^.Info := X; P^.Left := NIL; P^.Right := NIL; NewD := P; end; procedure SetLeft (P: Node; X: integer); {создание левого сына для узла с указателем P} begin P^.Left := NewD(X); end; procedure SetRight(P: Node;X: integer); {создание правого сына для узла с указателем P} begin P^.Right := NewD(X); end;