§ 3. Применение метода ул -2 к механическим системам с распределенными параметрами. Метод дискретизации.

О ДИСКРЕТНЫX МОДЕЛЯХ

Теоретическая механика изучает механические системы с конечным числом степеней свободы. Между тем при расчете инженерных конструкций чаще всего рассматриваются механические системы с распределенными параметрами (нити, стержни, пластины, оболочки), обладающие бесконеч­ным числом степеней свободы.

Границы применения методов теоретической механики значительно расширяются при использовании метода дискретизации (метод конечных разностей, метод конечного элемента), позволяющего сводить решение задач о механических системах с распределенными параметрами к решению задачи о системе с конечным числом степеней свободы.

Поясним сущность метода дискретизации на примерах упругого стерж­ня постоянного сечения и гибкой нити.

Простейшей дискретной моделью упругого стержня постоянного сечения (модель 1) является шарнирный многоугольник (рис.3.1), сторонами которого служат жесткие безинерционные стержни; в шарнирах сосредоточены массы , где-масса моделируемого стержня;n –число сторон шарнирного многоугольника (одно звено многоугольника неподвижно). Шарниры считаются упругими: если одна из сторон многоугольника поворачивается относительно смежной стороны на угол (рис.3.1), то в соединяющем их шарнире возникает пара сил с моментом

, (3.1)

где - изгибная жесткость моделируемого стержня;- длина сторон шарнирного многоугольника. Модель элемента стержня показана на рис.3.2а.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Модель 1 допускает различные модификации, связанные со спосо­бами размещения сосредоточенных масс. Можно, например, помещать сос­редоточенную массу в середине каждой стороны шарнирного мно­гоугольника (Модель 2), (рис. 3.2б). Величину сосредоточенных масс можно выбирать как угодно, лишь бы их сумма была равна, массе моделируемого стержня.

Более совершенной моделью упругого стержня является шарнирный многоугольник, образованный жесткими инерционными стержнями, соеди­ненными упругими шарнирами (Модель 3). Пусть - длина моделируемого стержня;- масса его; - погонная масса стержня. Тогда массу каждого звена шарнирного многоугольника можно принять равной .

Стержень с исчезающе малой изгибной жесткостью называется гибкой нитью. Рассмотренные выше модели могут служить дискретными моделями гибкой нерастяжимой нити, если соединительные шарниры не наделять упругими свойствами (Модель 1^а – 3^а).

При расчете гибкой нити с учетом упругих свойств материала дискретную модель необходимо видоизменить. Предположим, что каждое звено шарнирного многоугольника может растягиваться, причем деформация звена подчиняется закону Гука

. (3.2)

Здесь N - растягивающее усилие; EF - жесткость звена на растя­жение; - относительное удлинение звена. Если- первоначальная длина звена, то под нагрузкой

. (3.3)

Шарнирный многоугольник с линейно деформируемыми растяжимыми звень­ями и пренебрежимо малой жесткостью упругих шарниров является подхо­дящей дискретной моделью гибкой растяжимой нити (Модель 4).

Можно показать, что, при достаточно большом числе элементов, различные дискретные модели дают близкие между собой результаты и сколь угодно точно описывают поведение моделируемых объектов (стерж­ни, нити). Несмотря на близость результатов, полученных при исполь­зовании различных моделей, применение нескольких моделей полезно. Так, например, при определении частот собственных колебаний балки модель 1 дает, как правило, заниженные, а модель 2 - завышенные результаты. Для искомых частот получается двухсторонняя оценка, по­зволяющая судить о точности расчетов.

ЗАДАЧИ

Шарнирный пятиугольник (пример 14, § 1, рис.1.3) совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Расстояние между опорами О₁О₂ = 2а. Составить уравнения малых колебаний стержне­вого пятиугольника, используя метод УЛ-2.

В качестве обобщенных координат выберем углы (k=1,2,3,4) (рис.1.3). Система имеет две степени свободы. Поэтому из четырех координат только две являются независимыми, например,и.

В [12] показано, что положение устойчивого равновесия стержневого пятиугольника определяется углами и, которые находятся из системы уравнений

(3.4)

Координаты (k=1,2,3,4) связаны двумя уравнениями

, (3.5)

. (3.6)

Уравнения (3.5) и (3.6) получены в результате проектирования пятиугольника на горизонтальную и вертикальную оси соответственно.

При достаточно малых углах в (3.5) и (3.6) можно ограничится членами первого порядка относительно, полагая

В этом случае уравнения (3.5) и (З.6) принимают вид

(3.7)

Разрешая (3.7) относительно и, получим

(3.8)

Здесь, с учетом (3.4),

. (3.9)

Потенциальная энергия пятиугольника представлена формулой (1.18). В силу (3.8) и (3.9) она принимает вид

.

Кинетическая энергия системы представлена формулой (1.26)

Функция Лагранжа

Выражая через независимые координатыи, получим

(3.10)

где, с учетом (3.9),

Л- 2 имеют следующий вид

или

(3.12)

Уравнения (3.12) - искомое уравнения малых колебаний шарнирного пятиугольника.

Примечание. Шарнирный пятиугольник, рассмотренный в задаче 14, является дискретной моделью гибкой нерастяжимой нити (модель 3^а).

Поэтому полное решение задачи о малых колебаниях шарнирно­го многоугольника доставляет приближенное решение задачи о малых колебаниях гибкой нерастяжимой нити около положения устойчивого равно­весия.

2. В предыдущей задаче найти частоты и формы главных колебаний шарнирного пятиугольника при .

Указания: а) Найдите численное значение из (2.32).

Полагая

можно свести систему (2.32) к одному алгебраическому уравнению.

б) Найдите общее решение системы дифференциальных уравне­ний (3.12). Воспользуйтесь методикой решения задачи 13, § 2.

3. На условиях задачи 1 постройте графики частот собственных колебаний шарнирного пятиугольника при изменении параметра в ин­тервале (1,2). Вычисления проведите с шагом, равным 0,1.

4. Решите задачу 1 с помощью метода множителей Лагранжа (см. за­дачу 7. § 1).

Указание: Дополнительные условия (1.4) в рассмотренном случае принимают вид

5. Обобщите задачу 1 на случай шарнирного многоугольника с n - сторонами. Выполните численный анализ задачи при n =6; 7; 8.

6. Решите задачу о малых колебаниях гибкой нерастяжимой нити, используя дискретные модели 1^а и 2^а. Расчеты произведите для n = 5, . Сопоставьте полученные результаты с результатами решения задачи 2.

7. Обобщите задачу 1 на случай упруго деформируемых (растяжимых) стержней (модель 4).

8. Двойной опрокинутый маятник состоит ив двух однородных стержней длиной и массой "m" каждый (рис. 3.3). Крепления в точках О и А шарнирные. Стержни соединены пружиной жесткости "с". Такая же пружина связы­вает стержень ОА с опорой. На стержень АВ действует "следящая" сила Р посто­янно направленная вдоль стержня. Иссле­довать малые движения маятника в ок­рестности вертикального начального по­ложения.

Рис. 3.3

В качестве обобщенных координат выберем углы и(рис. 3.3) от­клонения от вертикали стержней ОА и АВ соответственно. Так как следя­щая сила Р является непотенциальной (пример 11, §1), то целесообразно воспользоваться УЛ-2 в форме (1.3)

(3.13)

где ,и- обобщенные непотенциальные силы.

Потенциальную энергию , находим с помощью формулы (2) приложения 1.

Кинетическая энергия системы согласно (1.22)

Обобщенные силы ипредставлены равенствами (1.10)

В случае малых движений

(3.14)

Найдем частные производные

(3.15)

Подставляя (3.14) и (3.15) в (3.13), получим

(3.16)

Выведем для краткости обозначения

Системе (3.16) можно придать вид

Ищем решение системы уравнений (3.17) в форме

(3.18)

Подставляя (3.18) в (3.17), получим

(3.19)

Из (3.19) следует

Или

(3.20)

Отсюда

, (3.21)

где

Исследуем поведение корней уравнения (3.20). Введем обозначение . Тогда уравнение (3.20) ипредставимы в виде

(3.22)

Разлагая квадратный трехчлен на множители, получим

где

На рис. 3.4 показано поведение при изменениив.

Рис. 3.4

Могут представиться следующие случаи.

а) При имеем (рис. 3.4)>0 и, в силу (3.21),-действительные числа. Так как приимеем(рис. 3.4), а свободный член в (3.22) положителен, то из теоремы Виета о корнях квадратного уравнения следует, чтои уравнение (3.20) имеет чисто мнимые корни. В этом случае решение (3.18) принимает вид

Опрокинутый двойной маятник совершает малые колебания около исход­ного положения равновесия.

б) При имеемуравнение (3.22) имеет комплексные корни. Покажем, что если

(3.23)

является корнем уравнения (3.22), то также являются корнями этого уравнения. Подставляя (3.23) в (3.21), получим

Отсюда следует

(3.24)

Из (3.24) следует

. (3.25)

Подставляя (3.25) в (3.24)₁ приходим к следующему уравнению относи­тельно

(3.26)

где

Из (3.26) находим

(3.27)

Так как - действительное число, то. Этому условию удовлетворяет только одно из решений (3.27)

Отсюда

(3.28)

Из (3.25) и (3.28) следует, что уравнение (3.22) имеет корни вида , гдеи- положительные числа.

Среди корней уравнения (3.22) имеются корни с положительной вещественной частью. Им отвечают решения системы (3.17), имеющие вид

(3.29)

Уравнения (3.29) представляют колебания с возрастающей с течением вре­мени амплитудой (автоколебания). В этом случай движение маятника является неустойчивым.

в) При имеем . Из (3.21) следует, что уравнение (3.22) имеет только действительные корниРешение системы (3.17) складывается из частных

решений вида

(3.30)

Уравнения (3.30) представляют апериодическое движение. Углы и неограниченно возрастают с течением времени. Движение маятника в этом случае является неустойчивым.

Проведенный анализ показывает, что является критическим зна­чением параметра; придвойной маятник совершает устойчивые малые колебания около положения равновесия; придвижение маятника становится неустойчивым.

Так как

то критическому значению отвечает критическая сила

При движение маятника устойчиво, а при- неустойчиво.

Примечание. Механическую систему в задаче 8 можно рассматривать как дискретную модель упругого стержня, один конец которого защемлен, а другой нагружен следящей силой Р ([9], лекция 9). Замечая, что

получаем

Этот результат довольно сильно отличается от действительного значе­ния критической нагрузки: . Значительное расхождение между приближенным и точным значением кри­тической силы связано с малым количеством элементов, на которые был разбит консольный стержень (два элемента). С увеличением числа эле­ментов приближенное значение критической силы приближается к точ­ному.

9. Обобщите задачу 8 на случай маятника, состоящего из “n” стержней. Найдите значение критической силы при n=3;4.

10. Решите задачу 8, используя метод бинормальных координат (11, §9.3).

11. Решите задачу 8, учитывая демпфирующие моменты в шарнирах

где

Исследуйте влияние демпфирования на величину критической силы.

12. Решите задачу 8, предполагая, что сила Р параллельна оси (рис.3.3).

13.Решите задачу 8, предполагая, что в точке В действуют силы Р и Q, из которых одна параллельна оси Ох, а другая оси Oу.

14. Исследуйте малые движения стержня ОА, прикрепленного в точке О к неподвижной опоре с помощью шарнира Гука (рис.3.5) и нагружен­ного в точке А постоянным моментом (рис.З.6). Длина, стержня ОА равна. Масса стержня равнаm. Подшипники 1-4 считать упруго податливыми (относительно поворотов осей) с коэффициентами жесткости "С". В точке 0 стержень ОА жестко скреплен с осью 3-4 под прямым углом (рис.3.5).

Рис. 3.5 Рис.3.6

Указание: Воспользуйтесь кинематическими и динамическими уравнениями Эйлера ([1], §97, уравнения (98), §158,уравнения (77)).