§ 2. Решение задач с помощью уравнений лагранжа 2 -го рода ( ул - 2).
Литература: [1] § 178 ; [2] § 128; [4] § 155.
Существенным достоинством метода УЛ-2 является стандартность действий, необходимых для решения задач.
Решение задач рекомендуется проводить последующему плану.
|
План решения задач с помощью УЛ-2
1. Определить число степеней свободы механической системы и выбрать обобщенные координаты. 2. Изобразить механическую систему в произвольном положении, указать все действующие активные силы и выяснить, являются ли они потенциальными.
| |
|
Вариант - А
В случае потенциальных сил:
3. Выразить потенциальную энергию системы в обобщенных координатах.
|
Вариант – Б
В случае непотенциальных сил:
3. Найти обобщенные силы Qj
|
|
4.Найти выражение кинетической энергии системы в обобщённых координатах и скоростях.
| |
|
5.
Составить функцию Лагранжа
и найти частные производные
|
5. Найти частные производные
6.
Подставить выражения
|
|
7. Решать уравнения, полученные на предыдущем этапе. 8. Исследовать решение.
| |
.
6. Подставить выражения производных
в
(1.2)
,
в
(1.1).
с
горизонтом (рис. 2.1).Определить ускорения призм, пренебрегая трением между призмой А и горизонтальной плоскостью.
Рис. 2.1 Рис.2.2
За
обобщенные координаты примем декартовы
координаты
и
(рис.
2.1). Система имеет две степени свободы.
Единственными активными силами, действующими на систему, являются силы тяжести. Так как эти силы - потенциальные, то при составлении УЛ-2 используем вариант А общего плана.
Потенциальная энергия системы, отсчитывается от уровня Н (рис. 2.1),
.
(2.1)
Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии призм А и В, движущихся поступательно,
.
Призма А совершает сложное движение: она движется вместе с призмой В (переносное движение) и, кроме того, скользит вдоль грани призмы В (относительное движение). В силу теоремы о сложении скоростей
,
где
,
- абсолютные скорости призм А и В;
- скорость призмы А относительно призмы
В. Из треугольника СДЕ (рис. 2.2) с помощью
теоремы косинусов получим
.
Так как
то
.
Таким образом,
.
(2.2)
Составим функцию Лагранжа, используя (2.1) и (2.2)
.
Найдем частные производные
Уравнения Лагранжа
(2.3)
Из (2.3)2 следует
.
(2.4)
Подставляя (2.4) в (2.3)1, получим
Отсюда
.
(2.5)
Из (2.4) с помощью (2.5) находим
.
(2.6)
Формула (2.5) доставляет абсолютное ускорение призмы А, а формула (2.6) - относительное ускорение призмы В (относительно призмы А). Абсолютное ускорение призмы В можно найти с помощью теоремы о сложении ускорений
.
Здесь
-
абсолютное ускорение призмы В;
- абсолютное
ускорение
призмы В (относительно призмы А).
С помощью теоремы косинусов получим (рис. 2.3)
.
(2.7)
Подставляя
и
из (2.5) и (2.6) в (2.7), найдем искомое абсолютное
ускорение призмы В.
2.
Исследуйте поведение решений (2.5) и (2.6)
предыдущей
задачи при
,
предполагая,
что
масса тел А и В
Рис. 2.3 остается постоянной. Объясните полученные результаты.
3. Докажите, что уравнение (2.3)1 задачи 1 выражает следующий факт: проекция ускорения центра масс системы па горизонтальную плоскость равна нулю. Объясните этот результат с помощью теоремы о движении центра масс системы.
4. Предполагая, что в задаче призмы А и В в начальный момент находились в покое, найдите: а)движение центра масс системы, б) движение каждой призмы относительно центра масс.
5. Решите задачу 47.23 из [5].
6. Решите задачу 1, учитывая трение между призмой и горизонтальной плоскостью. Коэффициент трения равен f.
7.
Эллиптический маятник (рис.2.4) состоит
из ползуна массой m1,
расположенного на гладкой горизонтальной
плоскости и груза массой m2,
шарнирно соединенного c
ползуном стержнем длиной
.
Пренебрегая массой стержня, найти
движение маятника при следующих
начальных условиях
Рис 2.4
а)
;
;
;
;
б)
;
;
;
.
Указание:
принять за обобщенные координаты
и
(рис.2.4).
Решение этой задачи дано в [2], § 128, пример 89 и в [4] , § 155,пример 155.
8. Решите предыдущую задачу, учитывая массу m3 стержня.
9. Решите задачу 7, учитывая трение между ползуном и горизонтальной плоскостью. Коэффициент трения равен f.
Указания: о влиянии сил трения на колебания см. [4], § 98. Воспользуйтесь УЛ-2 в форме (1.1).
10.
Связанные
маятники.
Два однородных стержня длиной
и весом Р каждый соединены на уровнеh
(рис.2.5) пружиной жесткости "С",
прикрепленной концами к стержням.
Найти малые колебания маятников в плоскости их равновесного положения.
В
начальный момент
(2.8)
Выберем
в качестве обобщенных координат углы
и
отклонения стержней от вертикала
(рис.2.5). Механическая система имеет две
степени свободы.
Рис. 2.5
Будем пренебрегать силами трения в шарнирах. Так как силы тяжести и сила упругости пружины являются потенциальными, то применяем вариант Б общего плана решения задач методом УЛ-2.
Потенциальная энергия системы
,
где
и
-
потенциальная энергия сил тяжести
первого и второго стержня;
-
потенциальная энергия пружины.
Имеем (рис.4.2)
.
Аналогично находим
.
Потенциальная энергия растянутой пружины при малых ее деформациях (см. (2), Прилож. 1 ).
Рис.
2.6
,
где
-
деформация пружины. При малых углах
отклонения стержней можно пренебречь
вертикальными составляющими перемещений
концов пружины, учитывая только
горизонтальные составляющие и отождествляя
их с длинами дуг, описываемых точкамиB
и D,
в которых пружина прикреплена к стержням.
Отсюда следует, что
.
Поэтому
.
Таким образом,
.
(2.8)а
Найдем теперь кинетическую энергию системы. Так как каждый из стержней вращается около неподвижной оси, то согласно (2), (приложение 3)
,
где
.
Следовательно,
.
(2.9)
Образуем функцию Лагранжа, используя (2.8)а и (2.9)
.
Найдем частные производные
(2.10)
.
Составим уравнения Лагранжа. Используя (1.2) и (2.10), получим
;
(2.11)
.
Вводя для краткости обозначения
запишем (2.11) в виде
(2.12)
Для интегрирования системы (2.12) применим следующий прием.
Положим
.
(2.13)
Складывая и вычитая уравнения (2.12), получим
(2.14)
(2.15)
Уравнения (2.14) и (2.15) описывают свободные гармонические колебания с частотами
.
Общие решения равнений (2.14) и (2.15) имеют вид
.
(2.16)
Из (2.13) с помощью (2.16) получаем
(2.17)
Постоянные
А1,
А2,
определяем
из
начальных условий (2.8).
Из (2.17) следует
(2.18)
Дифференцируя
(2.17) и используя начальные условия для
и
,
получим
(2.19)
Складывая и вычитая уравнения (2.19), получим
Отсюда
.
Из (2.18) следует
.
Окончательно имеем
(2.20)
Положим
(2.21)
(2.22)
Тогда из (2.20) следует
(2.23)
Колебания, представленные уравнениями (2.21) и (2.22) называются главными. Уравнения (2.21) представляют первое, а уравнения (2.22) второе главные колебания.
Каждому главному колебанию отвечает определенная частота и форма колебаний.
На
рис.2.7 изображена форма колебаний,
соответствующая главному колебанию
(2.21). Здесь маятники колеблются в
одинаковой фазе с одной и той же частотой
и
амплитудой
.
Пружина
не деформирована. На рис.2.8 показана
форма колебаний, отвечающая главному
колебанию (2.22). Маятники колеблются с
одной
и той же частотой
и амплитудой
.
Пружина деформирована.
Рис. 2.7 Рис. 2.8
Из
(2.33) следует, что колебания каждого из
маятников О1А1
и O1A1
являются результатом наложения главных
колебаний с частотами
и
.
Примечание.
После введения нормальных координат
и
система уравнений (2.12) распалась на два
независимых уравнения свободных
гармонических колебаний (2.14) и (2.15). Успех
этого приема связан с тем, что в
нормальных координатах потенциальная
и кинетическая энергии приводятся
к сумма квадратов.
Описанный прием можно, обобщить на малые колебания любой механической системы и выделить главные колебания ([4], § 175; [10], § 30). При этом общее решение задачи о малых свободных колебаниях системы является результатом наложения главных (гармонических) колебаний.
11.
В предыдущей задаче исследуйте поведение
частот колебаний при изменении "с"
в (
).
Постройте графики.
12. Найдите решение задачи 10 при следующих начальных условиях:
Предполагая,
что пружина слабая
показать, что через некоторый
промежуток времени
первый маятник почти остановится, а вся
энергия перейдет ко второму (перекачка
энергии, биения). Постройте графики
колебаний маятников.
13.
Двойной физический маятник состоит из
двух однородных стержней длиной
весом Р каждый (рис.1.2). Найдите малые
колебания маятника.
За
обобщенные координаты примем углы
и
(рис.1.2). Воспользуемся выражениями
потенциальной энергии (1.15) и кинетической
энергии (1.22) двойного маятника, полученными
при решении примеров 12 и 15 в §1. Функция
Лагранжа
(2.24)
Дифференцируя (2.24), находим
Уравнения Лагранжа имеют вид
или
(2.25)
Используя примечание к задаче 10, ищем решение системы (2.25) в виде
(2.26)
Подставляя (2.26) в (2.25), подучим
(2.27)
Так как по физическому смыслу задачи А и В не равны одновременно нулю, то система (2.27) должна допускать нетривиальное решение. Это возможно тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
(2.28)
Уравнение (2.28) называют уравнением частот (вековым уравнением). В развернутом виде оно имеет вид
или
(2.29)
Из (2.29) находим
Отсюда
Общее решение системы (2.25) имеет вид
(2.30)
Из (2.27) следует
.
Заменяя
их числовыми значениями, получим
Уравнения (2.30) принимают вид
(2.31)
В
(2.31) слагаемые в рамках соответствуют
первому и второму главным колебаниям.
Первое главное колебание происходит с
частотой
.
Его форма показана на рис.2.9. Второе
главное колебание совершается с частотой
.
Его форма показана на рис.2.10.
Рис. 2.9 Рис. 2.10
4. В предыдущем примере найти амплитуды и начальные фазы колебаний маятников при следующих начальных условиях:
а)
;
;
;
;
б)
;
;
;
.
Указание: Подставьте начальные условия в (2.31) и в уравнения, полученные дифференцированием уравнении (2.31) по времени.