МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра МЕХАТРОНКИ

______________________________________________________________

­Методические указания по курсу

“Аналитическая механика”

Разработана:

профессором Мусалимовым В.М.

Санкт- Петербург

2002

Предисловие

Предлагаемое пособие посвящено одному из наиболее эффективных инструментов аналитической механики - уравнениям Лагранжа второго рода (УЛ - 2). УЛ - 2 непосредственно вытекают из общего уравнения динамики (принципа Даламбера - Лагранжа), записанного в обобщенных координатах.

Пособие преследует несколько целей. Оно должно способствовать: рациональной организации самостоятельной работы студентов, овладению техникой составления УЛ - 2 в различных ситуациях, раскрытию возмож­ностей метода УД - 2 на примерах, относящихся к расчету элементов конструкций (устойчивость стержня, колебания вант и др.), подготовке студентов к выполнению работ с элементами самостоятельного исследо­вания.

Пособие состоит из трех параграфов и двух приложений. В § 1 рассматриваются различные формы записи УЛ - 2 и упражнения подгото­вительного характера. В § 2 демонстрируется применение УЛ - 2 к ре­шению традиционных задач. В § 3 метод УЛ - 2 применяется к механическим системам с распределенными параметрами (стержни, нити). В при­ложении I приведены формулы для вычисления потенциальной, а в прило­жении II - кинетической энергии системы.

Задачи повышенной трудности отмечены звездочкой. Задачи иссле­довательского характера, связанные с применением метода дискретизации, помещены в § 3.

В начале каждого параграфа указана рекомендованная литература. Цифра в квадратных скобках соответствует номеру в прилагаемом списке литературы. В рамки заключены условия задач для выделения.

Пособие принесет пользу, если студент ответит на контрольные вопросы, тщательно разберет типовые примеры и решит рекомендованные задачи.

Тем, кто будет испытывать серьезные затруднения при решении задач рекомендуем внимательно разобрать задачи, решения которых при­ведены в [1] - [4] и [6] - [7]

§ 1. Уравнение лагранжа второго рода (ул-2)

Литература: [1] § 177 ; [2] § 125-126 ; [3] Раздел 3, гл.6, § 6 ;[4] § 153,157 ( стр. 399-400 ).

Повторите материал относящейся к обобщенным силам, потенциальной и кинетической энергии системы.

Вопросы, примеры, задачи

'

1. Выведите УЛ - 2 из ОУД в обобщенных координатах

ОТВЕТ:

2. Какой вид принимают уравнения (1.1) в случае потенциальных сил ?

ОТВЕТ:

3. Как выражается функция Лагранжа в (1.2) через потенци­альную и кинетическую анергию системы?

4. Что называют циклической координатой? Что вытекает из урав­нений (1.2) в случае циклической координаты?

5. На механическую систему с степенями свободы одновременно

действуют потенциальные и непотенциальные силы. Покажите, что УЛ-2 представимы в виде

(1.3)

( j = 1,2,...,s) ,

где , — потенциал потенциальных сил,

- обобщенные непотенциальные силы.

6. Пусть обобщенные координаты (j = 1, 2,...,s ), характеризующие положение механической системы, подчинены условиям

(1.4)

Покажите, что движение системы описывается уравнениями Лагранжа с множителями

(1.5)

и присоединенными к ним уравнениями (1.4).

Указание: см. [4] , § 157, стр. 399-400.

7. Покажите, что в случае потенциальных сил уравнения (1.5) представимы в виде

(1.6)

(- функция Лагранжа).

9. Опишите способы определения обобщенных сил.

10. Два стержня ОА и АВ, длиной каждый, шарнирно соединены в точке А (рис. 1.1). В точке 0 стержень ОА шарнирно оперт. На стержень АВ действует следящая сила Р (вое время направленная вдоль стержня АВ). Оси цилиндрических шарниров 0 и А перпендикулярны к плоскости чертежа. Найти обобщенные силы.

Механическая система имеет две сте­пени свободы. Определим ее положение обобщенными координатами и(рис. 1.1).

Способ 1. Имеем

(1.7)

(1.8)

Рис. 1.1

Дифференцируя (1.8), получим

(1.9)

Используя (1.7), (I.9) и аналитические представления обобщен­ных сил, получим

(1.10)

Способ 2. Возможное перемещение точки В можно представить в виде

где - возможное перемещение точки А ;- возможное пе­ремещение точки В при вращательном движении стержня АВ около точки А. Возможная работа силы Р

Векторы ивзаимно перпендикулярны. Следовательно

Поэтому (рис. 1.1.)

Так как

,то

Отсюда следует (1.10).

Способ 3. Фиксируем координату , полагая. Тогда стержень АВ движется поступательно. Силу Р можно перенести вдольAB в точку А. Элементарная работа силы Р

Отсюда

Фиксируем затем угол , а уголоставим произвольным. Тогда возможное перемещение стержня АВ представляет собой поворот на уголТак как сила Р перпендикулярна к вектору возможного перемещения точки В, то

.

Следовательно .

Примечание. В случае потенциальных сил достаточно записать потенциальную энергию системы в обобщенных координатах и воспользо­ваться формулой

11. Докажите, что сила Р в примере 10 не является потенциальной.

Рассмотрим выражение элементарной работы силы Р,

Для потенциальности силы Р необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие¹

(1.11)

Подставляя (1.10) в (1.11), получим

Отсюда

.

Уравнение (1.12) связывает две координаты и, кото­рые должны быть независимыми (система имеет две степени свободы). Это противоречие показывает, что условие (1.11) не выполняется и, следовательно, что сила Р не является потенциальной.

12. Две одинаковых однородных, стержня ОА и 0В длиною и весом каждый, шарнирно соединены в точке А (рис.1.2).В точке 0 стержень ОА шарнирно подкреплен к опоре. Найти потенциальную энергию системы в поло­жении, указанном на рис.1.2.

На систему действуют силы тяжести P₁ и Р₂. Потенциальная энер­гия системы

, (1.13)

где у₁ и y₂ - координаты центров тяжести стержней. Так как (рис.1.2)

Рис. 1.2 ;,

то (1.13) можно записать в виде

. (1.14)

Потенциальная энергия в (1.1.3) и (1.14) отсчитывается от уровня y=0 (оси Ох). Отсчитывая энергию каждого стержня от линии уровня, проходящей через его центр тяжести в положении устойчивого равновесия системы, получим

(1.15)

На (1.14) и (1.15) видно, что соответствующие выражения потенциальной энергии отличаются на постоянную величину.

13. В предыдущем примере запишите потенциальную энергию системы при малых углах и.

Ответ:

. (1.16)

Указание: Использовать (1.15) и соотношения

¹ Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.П. § 71.

14. Шарнирный четырехугольник (рис.1.3), расположенный в верти­кальной плоскости, состоит из одинаковых однородных стержней, длиной и весом Р каждый. Опоры А и В находятся на одном уровне. Найти потен­циальную энергию четырехугольника в положении 2, указанном на (рис.1.3)пунктиром.

В положении равновесия (1) стерж­невой многоугольник симметричен относительно вертикальной оси СС₁. Поэтому положение равновесия опре­деляется углами и(рис.1.3).

Рассмотрим положение (2) че­тырехугольника, определяемое угла­ми (- угол образованный стержнем с его равновесным положением). Будем отсчитывать

потенциальную энергию от положения равно­весия 1. Имеем

Рис.1.3

(1.17)

При малых ( к = I, 2, 3, 4)

Поэтому формула (1.17) принимает вид

15. Определите кинетическую энергию системы в примере 10, если вес каждого из стержней равен Q.

Кинетическая энергия системы

,

где иозначают кинетические энергии стержней ОА И АВ соответ­ственно.

Стержень ОА вращается около неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку 0. Согласно формуле (2) Приложения 2 имеем

(1.17)

Стержень АВ совершает плоское движение. С помощью формулы (3) При­ложения 2 находим

(1.18)

где С - центр тяжести стержня АВ.

Рис. 1.4 Рис.1.5

Из кинематики известно, что

,

где - скорость точки С во вращательном (относительном) движе­нии стержня АВ около оси, проходящей через точку А и перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 1.4).

Применяя теорему косинусов к треугольнику СДЕ (рис. 1.5), по­лучим,

.

Так как

то

. (1.19)

Подставляя (1.19) в (1.18), получим

. (1.20)

С помощью (1.17) и (1.20) окончательно находим

. (1.21)

Если - малые величины одинакового по­рядка, то удерживая в (1.21) малые слагаемые до второго порядка включительно и замечая, что

,

получим

. (1.22)

16. Найдите кинетическую энергию шарнирного стержневого четырехугольника в примере 14.

Рассмотрим шарнирный многоугольник как систему двух двойных маятников АА₁С₁ и ВВ₁С₁. Для вычисления кинетической энергии маятника АА₁С воспользуемся формулой (1.21), положив в ней (рис.1.3)

(1.23)

Из (1.23) следует

(1.24)

Используя (1.21) и принимая во внимание (1.24), получим выражение кинетической анергии маятника АА₁С₁

Аналогично выражается кинетическая энергия маятника ВВ₁С₁

Кинетическая энергия шарнирного многоугольника

(1.25)

17. В предыдущем примере запишите кинетическую энергию системы при малых отклонениях многоугольника от положения устойчивого равновесия.

Ответ:

(1.26)

Указание: При малых

Аналогичным образом можно представить . Удерживая в (1.25) члены до второго порядка включительно, полупим (1.26).