3. Законы распределения носителей в зонах полупроводника.

Разрешенные зоны содержат огромное количество уровней (10²²-10²³ в см³), на каждом из которых могут находиться электроны. Фактическое же количество электронов зависит от концентрации доноров и от температуры. Чтобы оценить фактическую концентрацию носителей в полупроводнике, нужно знать распределение уровней и вероятность заполнения этих уровней.

Вероятность нахождения электрона на том или ином уровне дается распределением Ферми-Дирака:

, (1.6)

где – постоянная Больцмана, – абсолютная температура, – энергия уровня, W_F - энергия, называемая уровнем Ферми. С формальной точки зрения энергия уровня Ферми соответствует такому энергетическому уровню, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Энергетические уровни распределены по высоте разрешенной зоны неравномерно. Вводят понятие плотности энергии – это число уровней, отнесенных к единице объема твердого тела и к единице энергии. Вблизи "дна" и "потолка" каждой из разрешенных зон для узких интервалов энергии плотность энергий определяется формулой:

(1.7)

где – эффективная масса, – постоянная Планка, – полная энергия, которая отсчитывается от внутрь зоны. Величина является потенциальной энергией электрона или дырки, так как на границах зон скорость частиц, а значит и их кинетическая энергия равна нулю.

В дальнейшем удобно выражать энергию не в Дж, а в электрон-вольтах (э-В) или просто в вольтах (В).

; (1.8)

где – потенциал Ферми, – температурный потенциал.

Введем следующие обозначения: – потенциал "дна" зоны проводимости, – потенциал "потолка" валентной зоны (рис1.2). Тогда ширина запрещенной зоны определяется как

(1.9)

В невырожденных полупроводниках уровень Ферми всегда лежит в запрещенной зоне, глубина его залегания определяется из условий:

. (1.10)

Для классических (невырожденных ) полупроводников вероятность заполнения уровня в зоне проводимости дается распределением Максвелла-Больцмана:

, (1.11а)

которое получается из (1.6) с учетом условия (1.10).

Вероятность не заполнения уровня в валентной зоне (т.е. наличия дырки на этом уровне) определяется функцией

. (1.11б)

Обозначим через плотность уровней в зоне проводимости вблизи уровня . Тогда будет количеством уровней в диапазоне . Умножив это количество на вероятность заполнения этих уровней , получим концентрацию свободных электронов с энергиями от до + . Полную концентрацию свободных электронов n получим путем интегрирования по всей ширине зоны проводимости. Если принять зависимость ~ , то

. (1.12а)

Здесь N_c – так называемая эффективная плотность уровней (состояний) в зоне проводимости - это максимально возможная концентрация электронов в зоне проводимости в невырожденном полупроводнике.

Аналогичным методом получается выражение для концентрации дырок:

. (1.12б)

Здесь N_V – эффективная плотность уровней в валентной зоне, т.е. максимально возможная концентрация дырок в валентной зоне.

Используя формулы (1.12), определим уровень Ферми:

. (1.13)