54. Биноминальный закон распределения. Распределение Пуассона

Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q.

Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:

где p^{n -} вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит n раз;

qⁿ - вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни разу;

- вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а событие Ā наступит n-m раз;

- число сочетаний (комбинаций) появления события А и Ā.

Числовые характеристики биноминального распределения:

М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях;

D(m)=npq - дисперсия частоты появления события. А;

- среднее квадратическое отклонение частоты.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m

может быть написан, если положить p = a/n, в виде

или

Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению с n. Произведение

весьма близко к единице. Это же относится к величине

Величина

очень близка к e^–a. Отсюда получаем формулу:

55. Равномерное распределение

Равномерное распределение, прямоугольное распределение, специальный вид распределения вероятностей случайной величины Х, принимающей значения из интервала (а — h, a + h); характеризуется плотностью вероятности:

.

Математическое ожидание:

Ех = a, дисперсия Dx = h²/3, характеристическая функция: .

С помощью линейного преобразования интервал (а — h, a + h) может быть переведён в любой заданный интервал. Так, величина Y = (X — a + h)/2h равномерно распределена на интервале (0, 1). Если Y₁, Y₂,..., Y_n равномерно распределены на интервале (0, 1), то закон распределения их суммы, нормированной математическим ожиданием n/2 и дисперсией n/12, при возрастании n быстро приближается к нормальному распределению (даже при n = 3 приближение часто бывает достаточным для практики).

56. Нормальное распределение.

Нормальное распределение

Если изобразить величины P₀, P₁, P₂, P₃, …, P₁₀, которые мы подсчитали в примере 3, на графике, то окажется, что их распределение имеет вид, близкий к нормальному закону распределения (см. рис. 27.1) (см. лекцию 25. Моделирование нормально распределенных случайных величин).

Рис. 27.1. Вид биномиального распределения вероятностей для различных m при p = 0.8, n = 10

Биномиальный закон переходит в нормальный, если вероятности появления и непоявления события A примерно одинаковы, то есть, условно можно записать: p ≈ (1 – p). Для примера возьмем n = 10 и p = 0.5 (то есть p = 1 – p = 0.5).

Содержательно к такой задаче мы придем, если, например, захотим теоретически посчитать, сколько будет мальчиков и сколько девочек из 10 родившихся в роддоме в один день детей. Точнее, считать будем не мальчиков и девочек, а вероятность, что родятся только мальчики, что родится 1 мальчик и 9 девочек, что родится 2 мальчика и 8 девочек и так далее. Примем для простоты, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова и равна 0.5 (но на самом деле, если честно, это не так, см. курс «Моделирование систем искусственного интеллекта»).

Ясно, что распределение будет симметричное, так как вероятность рождения 3 мальчиков и 7 девочек равна вероятности рождения 7 мальчиков и 3 девочек. Наибольшая вероятность рождения будет у 5 мальчиков и 5 девочек. Эта вероятность равна 0.25, кстати, не такая уж она и большая по абсолютной величине. Далее, вероятность того, что родится сразу 10 или 9 мальчиков намного меньше, чем вероятность того, что родится 5 ± 1 мальчик из 10 детей. Как раз биномиальное распределение нам поможет сделать этот расчет. Итак.

C₁₀⁰ = 1, C₁₀¹ = 10, C₁₀² = 45, C₁₀³ = 120, C₁₀⁴ = 210, C₁₀⁵ = 252, C₁₀⁶ = 210, C₁₀⁷ = 120, C₁₀⁸ = 45, C₁₀⁹ = 10, C₁₀¹⁰ = 1;

P₀ = 1 · 0.5⁰ · (1 – 0.5)^10 – 0 = 1 · 1 · 0.5¹⁰ = 0.000977…; P₁ = 10 · 0.5¹ · (1 – 0.5)^10 – 1 = 10 · 0.5¹⁰ = 0.009766…; P₂ = 45 · 0.5² · (1 – 0.5)^10 – 2 = 45 · 0.5¹⁰ = 0.043945…; P₃ = 120 · 0.5³ · (1 – 0.5)^10 – 3 = 120 · 0.5¹⁰ = 0.117188…; P₄ = 210 · 0.5⁴ · (1 – 0.5)^10 – 4 = 210 · 0.5¹⁰ = 0.205078…; P₅ = 252 · 0.5⁵ · (1 – 0.5)^10 – 5 = 252 · 0.5¹⁰ = 0.246094…; P₆ = 210 · 0.5⁶ · (1 – 0.5)^10 – 6 = 210 · 0.5¹⁰ = 0.205078…; P₇ = 120 · 0.5⁷ · (1 – 0.5)^10 – 7 = 120 · 0.5¹⁰ = 0.117188…; P₈ = 45 · 0.5⁸ · (1 – 0.5)^10 – 8 = 45 · 0.5¹⁰ = 0.043945…; P₉ = 10 · 0.5⁹ · (1 – 0.5)^10 – 9 = 10 · 0.5¹⁰ = 0.009766…; P₁₀ = 1 · 0.5¹⁰ · (1 – 0.5)^10 – 10 = 1 · 0.5¹⁰ = 0.000977…

Разумеется, P₀ + P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ + P₇ + P₈ + P₉ + P₁₀ = 1.

Отразим на графике величины P₀, P₁, P₂, P₃, …, P₁₀ (см. рис. 27.2).

Рис. 27.2. График биномиального распределения при параметрах p = 0.5 и n = 10, приближающих его к нормальному закону

Итак, при условиях m ≈ n/2 и p ≈ 1 – p или p ≈ 0.5 вместо биномиального распределения можно использовать нормальное. При больших значениях n график сдвигается вправо и становится все более пологим, так как математическое ожидание и дисперсия возрастают с увеличением n: M = n · p, D = n · p · (1 – p).

Кстати, биномиальный закон стремится к нормальному и при увеличении n, что вполне естественно, согласно центральной предельной теореме (см. лекцию 34. Фиксация и обработка статистических результатов).

Теперь рассмотрим, как изменится биномиальный закон в случае, когда p ≠ q, то есть p –> 0. В этом случае применить гипотезу о нормальности распределения нельзя, и биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.