Вопрос 1. Возникновение математики и развитие ее как науки. 3 этапа истории развития математики

Матема́тика (от др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов^[1]. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов^[2]. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы^[3].

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;

2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);

3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;

4. Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Цифры майя

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение,вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Вопрос № 2 Развитие понятия натурального числа. История развития числа и счета. Система счисления.

Числа сопровождают нашу жизнь повсюду, а задумывались ли мы, что пытаясь подсчитать количество яблок в килограмме, сколько остановок нам ехать до дома, или сколько ступенек до нашего этажа, используем как раз натуральные числа. История возникновения натуральных чисел берет свое начало еще с первобытного общества. Тогда, конечно, оно возникло в самом простейшем виде, но вместе с человечеством развивались и числа. Изначально они использовались только для того, чтобы что-то подсчитать, измерить, т.е. помогали именно в том, что было нужно в практической деятельности людей. Потом число становится частью математики, и история возникновения и развития натуральных чисел обуславливается уже наукой.

В самые древние время люди считали на пальцах, то есть понятия число, в котором мы привыкли его понимать, у них не было. С развитием письменности, развивалось и расширялось понятие числа. Сначала это были черточки, затем были введены другие обозначения, для обозначения больших чисел. До нас дошли вавилонские клинописные таблички с первыми обозначениями натуральных чисел. Сохранившиеся до наших дней «римские цифры» тоже берут свое начало в древности. Огромным прорывом стала индийская позиционная система исчисления, которая позволила записывать числа, используя десять знаков цифр. Греческие философы Пифагор и Архимед тоже внесли свой вклад в историю возникновения чисел. Впервые, в 3 веке до нашей эры, они обосновали понятие бесконечности натурального числа.

История развития числа и счета Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число».  Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).  Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей». [3] 

История развития вычислительной техники непосредственно связана с историей развития счета. По этому начнем обзор истории вычислительной техники с рассмотрения зарождения и развития чисел и счета.

Предположительный возраст человечества – 3-4 миллиона лет. Именно в то время человек встал на ноги и стал использовать изготовленный им самим инструмент. Однако способность считать сформировалась у человека значительно позже, примерно 40-50 тысяч лет назад. Этот этап соответствует появлению современного человека – кроманьонца.

Сначала наши далекие предки из окружающего множества научились выделять отдельные предметы. Это было необходимо для выживания, например, для удачной охоты вождю нужно было выделить из стада оленей одну наиболее подходящую особь или из стаи волков – вожака и так далее. Таким образом, появился зачаток счета, отношение «один» и «много». При этом не было абстрактного понятия единицы или множества. Один или много всегда сочеталось с объектом, например один олень или один волк и так далее.

Но жизнь требовала большего. Необходимо было определять количество видимых объектов для передачи соплеменникам информации о них. Не имея представления о числах, наши предки, рассказывая о том, что видели несколько животных, сравнивали их с часто видимыми предметами (глаза, уши, рога и так далее). Например, если охотник видел двух волков, то сравнивал их с парой глаз. Постепенно человек научился выделять три предмета, четыре и так далее. Если же предметов было больше, чем можно было передать сравнением, то говорилось: «Много».

Для успешного выживания нашим предкам все больше и больше требовалась возможность счета. Вождь племени для удачной охоты должен был распределять усилия, деля охотников на группы и отдавая им указания, выменивать у других племен необходимые вещи и оружие. Для всего этого необходимо было уметь считать. Для счета стали использоваться пальцы рук, а если их не хватало, то и ног. Даже в наше время следы счета на пальцах сохранились в традиционном делении чисел на пятерки и десятки, например, в Китае и Японии. Происхождение десятичной системы счисления связано именно со счетом на пальцах.

Все большее и большее вхождение счета в жизнь наших предков потребовало найти способы для облегчения подсчетов, записи и сохранения результатов. Для выполнения расчетов, в которых пальцев было недостаточно, стали применять камушки и другие предметы. Для сохранения результатов использовались зарубки на бирках (палках и костях животных), отложенные в отдельную кучку ракушки или камушки и другие подручные предметы

Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

• даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Вопрос № 3. Основные математические понятия: множество, величина, геометрическая фигура, время.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств.

В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.

Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Величина - в математике -1) обобщение конкретных понятий: длины, площади,веса и т. п. Выбрав одну из величин данного рода за единицу измерения,можно выразить числом отношениелюбой другой величины того же рода кединице измерения. 2) В более общем смысле скалярной величиной, или скаляром, называется объект, полностью характеризующийся заданием одногочисла. Обобщением скалярных величин являются векторные величины (см.Вектор), тензорные величины (см. Тензорное исчисление).

Фигура — термин, формально применимый к произвольному множеству точек; тем не менее, обычно фигурой называют множества на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.

Вре́мя — одно из основных понятий философии и физики, условная сравнительная мера движения материи, а также одна из координат пространства-времени, вдоль которой протянуты мировые линии физических тел.

В философии — это необратимое течение (протекающее лишь в одном направлении — из прошлого, через настоящее в будущее)^[1], внутри которого происходят все существующие в бытии процессы, являющиеся фактами. Тем не менее существуют теории с симметричным временем, например, теория Уилера-Фейнмана.

Вопрос № 4. Становление методики математического развития

Вопросы математического развития детей дошкольного возраста своими корнями уходят в классическую и народную педагогику. Различные считалки, пословицы, поговорки, загадки, потешки были хорошим материалом в обучении детей счету, позволяли сформировать у ребенка понятия о числах, форме, величине, пространстве и времени.

В классических системах сенсорного обучения Ф. Фребеля (1782—1852) и М. Монтессори (1870—1952) представлена методика ознакомления детей с геометрическими фигурами, величинами, измерением и счетом. Созданные Фребелем «дары», разработанные игры — занятия по ознакомлению детей с числом, формой, величиной и пространственными отношениями, а также его оригинальный подход к организации обучения и в настоящее время используются в качестве бесценного научного наследия.

Особое значение для развития методики обучения детей элементам математики имеют рекомендации М. Монтессори. Современная педагогика вновь обращается к изучению ее наследия.

О значении обучения детей счету до школы неоднократно писал К. Д. Ушинский (1824—1871). Он полагал, что важно научить ребенка считать отдельные предметы и их группы, выполнять действия сложения и вычитания, сформировать понятие о десятке как единице счета.

Особое значение вопросы методики математического развития приобретают в педагогической литературе начальной школы на рубеже XIX—XX вв. Авторами методических рекомендаций тогда были передовые учителя и методисты. Опыт практических работников не всегда был научно обоснованным, зато был проверен на практике. Со временем он усовершенствовался, сильнее и полнее в нем выявлялась прогрессивная педагогическая мысль. В конце XIX — начале XX в. у методистов возникла потребность в разработке научной основы методики арифметики. Значительный вклад сделали передовые учителя и методисты П. С. Гурьев, А. И. Гольденберг, Д. Ф. Егоров, В. А. Евтушевский, Д. Д. Галанин и др.

Первые пособия по методике обучения дошкольников счету, как правило, были адресованы одновременно учителям, родителям и воспитателям. На основа опыта практической работы с детьми В. А. Кемниц (1912) издала методическое пособие «Математика в детском саду». В качестве основных методов работы с детьми предлагаются беседы, игры, практические упражнения.

Вопросы о методах, содержании обучения детей счету и математическом развитии в целом, которые могли бы стать основой для успешного математического развития их в школе, особенно остро дебатировались в дошкольной педагогике с момента создания широкой сети общественного дошкольного воспитания.

Наиболее крайняя позиция сводилась к запрещению любого целенаправленного обучения математике. Однако передовые педагоги-«дошкольники» (Е. И. Тихе-ева, Л. К. Шлегер и др.) отмечали, что процесс формирования числовых представлений у детей очень сложный и поэтому необходимо целенаправленно обучать их счету. Основным способом обучения детей счету признавалась игра. Большинство педагогов 20—30-х гг. были увлечены педагогикой свободного воспитания, поэтому весьма критически относились к строгому систематическому целенаправленному обучению на основе типовых (унифицированных) программ для детского сада. В частности, Л. К. Шлегер указывала на то, что дети должны свободно выбирать себе занятия, по собственному желанию и каждый может делать то, что он задумал, выбирать соответствующий материал, ставить себе цели и достигать их. Эта программа, по ее мнению, должна опираться на естественные наклонности и стремления детей. Роль воспитателя заключалась в основном в создании условий, которые способствуют самообучению детей. Л. К. Шлегер совершенно справедливо считала, что счет следует соединять с различными видами деятельности ребенка, а воспитатель должен использовать различные моменты из жизни детей для упражнений их в счете.

В работах Е. И. Тихеевой, М. Я. Морозовой и др. подчеркивалось, что знания о первых десяти числах ребенок должен усвоить еще до школы и при этом «без всяких систематических занятий и специальных приемов учебного характера». Е. И. Тихеева четко представляла себе содержание ознакомления детей дошкольного возраста с числом и счетом, а касательно методики высказывалась о том, что современная методика стремится к тому, чтобы подвести детей к усвоению знаний самостоятельно, создавая для ребенка условия, обеспечивающие ему самостоятельный поиск познавательного материала и использование его. В работе «Счет в жизни маленьких детей» (1920) Е. И. Тихеева также выступала против «притеснения и насилия» в математическом развитии ребенка. Она высказывалась против систематического обучения на занятиях, предлагая знакомить детей с числом в процессе организации разнообразных игр и режимных моментов. Одновременно Е. И. Тихеева возражала и против стихийного воспитания ребенка. Абсолютно справедливо она рассматривала сенсорное восприятие как главный источник математических знаний. Понятие о числе должно «входить в жизнь ребенка только в неразрывном единстве с предметами, которые находятся вокруг ребенка». В связи с этим автор обращает внимание на наличие необходимого наглядного материала в детском саду и дома. К сожалению, Е. И. Тихеева совершенно не оценила роли коллективных занятий, считая их навязанными ребенку извне. Она считала, что в детском саду познания детей будут разными, степень их развития неодинаковая, но это «не должно пугать воспитателя». При этом автор нигде не дает конкретных рекомендаций, как же работать с детьми разного уровня развития.

Е. И. Тихеева внесла определенный вклад в развитие методики обучения детей счету, определив объем знаний, доступных «дошколятам». Большое внимание она уделяла ознакомлению детей с отношениями между предметами разной величины: больше — меньше, шире — уже, короче — длиннее и др

В конце 30-х гг. происходит отход от неорганизованного обучения в детском саду, и с этого момента возникают проблемы, связанные с определением содержания, методов обучения детей разных возрастных групп детского сада.

Значительным этапом в разработке методик развития математических представлений были работы Ф. Н. Блехер. Автор этих трудов предлагает воспитателям широкую программу обучения дошкольников начальным знаниям по математике.

Ф. Н. Блехер включает в программу детского сада счет в пределах десяти на специальных занятиях и счет до 20—30 в свободной деятельности. Она считает необходимым ознакомить детей с составом числа, порядковым числом, цифрами, научить их решать несложные арифметические задачи и примеры. Одновременно, впервые в литературе по дошкольной педагогике, автор указывает на то, что детям следует показать независимость числа от величины элементов, составляющих множество, расстояния между ними, формы размещения, показать им соотношения между числами в числовом ряду и др.

В качестве основных средств математического развития детей Ф. Н. Блехер рекомендует использовать различные жизненные ситуации. Знания, приобретенные ребенком в повседневной жизни, закрепляются в индивидуальных играх-занятиях с дидактическим материалом. В работе с детьми она предлагает использовать карточки с числовыми фигурами и цифрами на сложение и вычитание для закрепления порядкового счета, понятия состава числа, знаний о времени, форме и т. д. Несколько позднее Ф. Н. Блехер разработала и систематизировала этот дидактический материал.

Однако по объективным причинам методика Ф. Н. Блехер имела ряд противоречий. Так, автор недооценивала значения поэлементного пересчитывания совокупностей и в целом счетной деятельности в математическом развитии ребенка, считая наиболее высоким уровнем математического развития целостное восприятие группы предметов.

Вопрос № 5. Вклад Леушиной в теорию и методику ФЭМП. Современное состояние методики математического развития дошкольников.

Создание системы обучения счету в детском саду является заслугой А. М. Леушиной. На основании глубокого экспериментального исследования ею доказано преимущество систематического обучения на специальных занятиях по математике. А. М. Леушина проанализировала различные точки зрения, различные подходы и концепции математического развития детей, критически оценила предыдущие направления и разработала новый подход в обучении детей счету.

На основании принципов и методов, предложенных А. М. Леушиной, и в настоящее время осуществляется математическое развитие дошкольников.

Сначала дети начинают сравнивать множества, еще не зная чисел. Такое сравнение дает возможность маленькому ребенку делать вывод, например, о том, что ему дали меньше конфет, нежели его брату. Малыш не может сам рассказать, как он об этом узнал, но наблюдения за его поведением показывают, что такое сравнение он делает, сопоставляя один предмет с другим, как будто сравнивая их попарно. Наглядное сопоставление элементов одного множества с элементами другого дает возможность ребенку сделать вывод об их равенстве или неравенстве.

А. М. Леушина разработала принципиально новый, теоретико-множественный подход в обучении детей счету. Исходным понятием в обучении дошкольников взято не число, как это считалось раньше, а конкретное множество. Практические действия детей с множествами рассматриваются как начальные этапы счетной деятельности.

Концепция математического развития дошкольников, разработанная А. М. Леушиной, служит источником для многих современных исследований, а дидактическая система, созданная ею, прошла опробование временем, показала свою эффективность в условиях общественного дошкольного воспитания, успешно функционирует уже несколько десятков лет.

В исследованиях А. М. Леушиной формирование понятия о числе основывалось главным образом на восприятии множества (дискретной величины). Однако ознакомление детей с числом только на основе сравнения конкретных множеств дает неполное представление о числе. Исследования П. Я. Гальперина и Л. С. Георгиева показали, что число должно восприниматься детьми прежде всего как результат измерения, как отношение измеряемой величины к избранной мере. В результате такого обучения дети раньше, чем по традиционной системе обучения, знакомятся с числом не только как характеристикой количества отдельных предметов, но и как показателем отношений. С самого начала обучения дети осознают тот факт, что число зависит прежде всего от выбранной меры, что мера — составная часть измеряемой величины и она не всегда идентична понятию единицы как отдельности. Современные исследования дали возможность включить в программу обучения в детском саду ознакомление детей с измерением.

Современное состояние методики математического развития дошкольников.

В современных исследованиях психологов и педагогов (В. В. Давыдов, В. В. Данилова, А. Я. Савченко, Л. А. Парамонова, Н. И. Непомнящая, Г. А. Корнеева и др.) все больше подчеркивается необходимость обучать детей обобщенным приемам и способам деятельности.

Таким образом, на протяжении последних лет методика пополнилась теоретическими исследованиями в разных конкретных направлениях, что значительно повысило общеразвивающий эффект обучения. Однако в теории и практике дошкольного воспитания есть еще ряд нерешенных проблем.

Одной из актуальных проблем методики формирования элементарных математических представлений является проблема преемственности в работе детского сада и школы, а в связи с этим дальнейшая разработка эффективных методов и приемов обучения. Изучение математики в начальной школе предусматривает достаточно широкую и глубокую ориентацию детей в количественных и пространственных отношениях окружающей действительности. Современное обучение в детском саду не всегда в полной мере решает эти задачи. Нередко математические знания дети усваивают формально, без должного их понимания. Одной из причин такого уровня знаний является недостаточная разработка отдельных методических вопросов. Так, современное обучение математике в детском саду во многом ориентируется на вербальные (словесные) методы, которые дают возможность формировать у детей конкретные знания, умения и навыки, и недостаточно ориентируется на методы, которые содействуют развитию у них познавательных интересов и способностей, логического мышления.

До сих пор в методике обучения математике в детском саду нет четких показателей математического развития дошкольников. Государственные стандарты требуют конкретной экспериментальной проверки. Часто уровень математического развития ребенка определяют, исходя только из объема (суммы) отдельных знаний, тогда как развитие обеспечивается системой и качеством этих знаний. В связи с этим очень остро стоит проблема разработки принципов отбора и систематизации математических знаний на основании государственных стандартов, индивидуализации и дифференциации обучения. Решение этих проблем позволит достичь наиболее высокого уровня математического развития.

Наряду с этим осуществляется дальнейшая научная разработка проблемы обучения детей дошкольного возраста обобщенным способам познавательной деятельности, широкого использования материализованных форм наглядности (схемы, модели, графики). Применение схем, моделей, графиков в педагогическом процессе детского сада будет содействовать развитию у дошкольников познавательной активности, способности творчески использовать ранее полученные знания в самостоятельной деятельности (О. А. Фун-тиковаи др.).

Опыт работы в дошкольных учреждениях показывает, что больше внимания следует уделять развитию специального словаря в процессе формирования элементарных математических представлений. В связи с этим необходимо изучать особенности овладения дошкольниками математической терминологией, элементарной математической логикой (Л. С. Плетенецкая и др.).

Значительные трудности наблюдаются в организации процесса обучения, в частности обучения математике в разновозрастной группе, малокомплектном детском саду. Положительное решение этих проблем обеспечит достаточное математическое развитие и подготовку ребенка к школе.