Задача о максимальном потоке
Рассмотрим сеть трубопроводов для транспортировки сырой нефти от буровых скважин до нефтеперегонных заводов. Для перекачки нефти предусмотрены магистральные насосные станции. Каждый сегмент трубопровода имеет свою пропускную способность. Сегменты трубопровода могут быть как однонаправленные (осуществляют перекачку нефти только в одном направлении), так и двунаправленные. В однонаправленных сегментах положительная пропускная способность предполагается в одном направлении и нулевая — в другом. На рис. 6.22 показана типовая сеть нефтепроводов. Как определить максимальную пропускную способность (т.е. максимальный поток) между нефтяными скважинами и нефтеперегонными заводами?
При решении данной задачи исходную сеть необходимо свести к сети с одним источником и одним стоком. Этого можно достигнуть путем введения дополнительных дуг с бесконечной пропускной способностью от источника к скважинам и от нефтеперегонных заводов к стоку (на рис. 6.22 эти дуги показаны пунктирными линиями).
Для ребра (i,j), где i<j, используем запись (Cij , Сji) для представления пропускных способностей в направлениях i —>j и j ->i соответственно. Во избежание недоразумений на схеме сети Сij будем располагать на ребре (i,j) ближе к узлу i, а Сji — ближе к узлу j, как показано на рис.
Перебор разрезов
Разрез определяет множество ребер, при удалении которых из сети полностью прекращается поток от источника к стоку. Пропускная способность разреза равна сумме пропускных способностей "разрезанных" ребер. Среди всех разрезов сети разрез с минимальной пропускной способностью определяет максимальный поток в сети.
Пример 1
Рассмотрим сеть, показанную на рис. 6.24. На этом рисунке при обозначении пропускных способностей двунаправленных ребер придерживались соглашения, принятого ранее (рис. 6.23). Например, для ребра (3, 4) пропускная способность в направлении 3 —> 4 равна 10, а в направлении 4 —> 3 — 5.
Разрезы, представленные на рис. 6.24, имеют следующие пропускные способности.
Разрез “Разрезанные” ребра Пропускная пособность
1 (1,2), (1,3), (1,4) 10 + 30 + 20=60
2 (1, 3), (1,4), (2, 3), (2, 5) 30 + 10 + 40 + 30 = 110
3 (2, 5), (3, 5), (4, 5) 30 + 20 + 20 =70
Вывод, который можно сделать из этих трех разрезов, заключается в том, что максимальный поток не может превышать 60 единиц. Но мы не можем сказать, какой максимальный поток на самом деле, так как не перебрали все возможные разрезы сети. К сожалению, перебор всех разрезов является непростой задачей. Поэтому для определения максимального потока в сети не используются алгоритмы, основанные на полном переборе разрезов.
Упражнения к лабораторной работе № 3
1. Для сети, показанной на рис. 6.24, проведите еще два разреза и найдите их пропускные способности.
Пример -2
Найдем максимальный поток в сети из примера 6.5-1 (рис. 6.24). На рис. 6.26 предлагается графическая иллюстрация выполнения алгоритма. Считаем полезным сравнить описание выполняемых алгоритмом вычислительных итераций с их графическим представлением.