Лекция 10. Теория ошибок измерений
10.1. Общие понятия об измерениях
10.2. Ошибки измерений
10.3. Свойства случайных ошибок измерений
10.4. Оценка точности результатов измерений
10.5. Средняя квадратическая ошибка функции общего вида
10.6. Математическая обработка результатов равноточных измерений
10.7. Неравноточные измерения. Понятие о весе измерения. Форма общей арифметической средины или весового среднего
10.8. Вопросы для самоконтроля
10.1. Общие понятия об измерениях
Сравнение какой-либо величины с другой однородной величиной, принятой за единицу, называют измерением, а полученное при этом числовое значение – результатом измерения.
Различают измерения прямые (непосредственные) и косвенные. Основное уравнение прямого измерения
λ = N ∙ K
где λ – результат измерения; К – значение величины, принятой за единицу измерения (сравнение); N – отвлеченное число, показывающее во сколько раз λ больше N.
Косвенные измерения – такие измерения, которые получают по формулам, связывающим значения измеренных физических величин со значениями других физических величин, полученных из прямых измерений и являющихся аргументами этих формул.
Уравнение косвенного измерения
λ= f (λ1,λ2,λ3,...,λn).
10.2. Ошибки измерений
Процесс измерений протекает во времени и определенных условиях, в нём участвуют объект измерения, измерительный прибор, наблюдатель и среда, в которой выполняют измерения. В связи с этим на результаты измерений влияют качество измерительных приборов, квалификация наблюдателя, состояние измеряемого объекта и изменения среды во времени. При многократном измерении одной и той же величины из-за влияния перечисленных факторов результаты измерений могут отличаться друг от друга и не совпадать со значением измеряемой величины. Разность между результатом измерения и действительным значением измеряемой величины называется ошибкой результата измерения.
По характеру и свойствам ошибки подразделяют на:
грубые;
систематические;
случайные.
Грубые ошибки или просчеты легко обнаружить при повторных измерениях или при внимательном отношении к измерениям.
Систематические ошибки – те, которые действуют по определенным законам и сохраняют один и тот же знак. Систематические ошибки можно учесть в результатах измерений, если найти функциональную зависимость и с её помощью исключить ошибку или уменьшить её до малой величины.
Случайные ошибки – результат действия нескольких причин. Величина случайной ошибки зависит от того, кто измеряет, каким методом и в каких условиях.
Случайными эти ошибки называются потому, что каждый из факторов действует случайно. Их нельзя устранить, но уменьшить влияние можно увеличением числа измерений.
10.3. Свойства случайных ошибок измерений
Теория ошибок изучает только случайные ошибки. Под случайной ошибкой здесь и далее будем понимать разность
Δi = Х – ℓi
где Δi – истинная случайная ошибка; Х – истинная величина; ℓi – измеренная величина.
Случайные ошибки имеют следующие свойства:
1. Чем меньше по абсолютной величине случайная ошибка, тем она чаще встречается при измерениях.
2. Одинаковые по абсолютной величине случайные ошибки одинаково часто встречаются при измерениях.
3. При данных условиях измерений величина случайной погрешности по абсолютной величине не превосходит некоторого предела. Под данными условиями подразумевается один и тот же прибор, один и тот же наблюдатель, одни и те же параметры внешней среды. Такие измерения называют равноточными.
4. Среднее арифметическое из случайных ошибок стремиться к нулю при неограниченном возрастании числа измерений.
Три первых свойства случайных ошибок достаточно очевидны. Четвертое свойство вытекает из второго.
Если Δ1,Δ2,Δ3,...,Δn - случайные ошибки отдельных измерений, где n – число измерений, то четвертое свойство случайных ошибок математически выражается
Предел этого отношения будет равен нулю, потому что в числителе сумма случайных ошибок будет конечной величиной, так как положительные и отрицательные случайные ошибки при сложении будут компенсироваться.
Чтобы запись была компактной, Гаусс предложил сумму записывать символом
,
тогда
