§7. Ряды Тейлора и Маклорена.
Рассматриваем
функцию
- дифференцируемая сколько угодно раз
в точке
и некоторой ее окрестности
.
Рядом Тейлора для функции в точке называется следующий числовой ряд:
, (1)
в котором коэффициенты
вычислены через функцию
по
следующим формулам:
,
,
.
…
Рядом Маклорена для функции называется частный случай ее ряда Тейлора в точке =0:
(2)
,
,
.
…
Название для рядов (1) и (2) сохраняются независимо от их сходимости/расходимости и даже в случае, если ряды сходятся не к функции .
Если ряд Тейлора (Маклорена) сходится в некоторой области к функции , то справедливо равенство:
области
сходимости ряда Тейлора. (3)
В этом случае это равенство называется разложением функции в ряд Тейлора в точке .
Замечание: так как ряд Тейлора – это есть степенной ряд по степеням , его область сходимости записывается неравенством , R – радиус сходимости. Так как это неравенство описывает , то разложение функции в ее ряд Тейлора справедливо в точке и некоторой ее окрестности .
Пример:
Составить разложение
функции
в ряд Тейлора в точке
.
Найти окрестность
,
в которой составленный ряд находится.
Решение:
Хотим получить следующее разложение:
,
где
.
Разложение должно
быть верно по окрестности
,
т.е. при
.
Вычислим коэффициенты Тейлора:
Составляем ряд Тейлора:
Зная, что составленный степенной ряд сходится абсолютно при , вычислим R, применяя признак Даламбера к ряду из модулей:
составленный
степенной ряд сходится при
и его
.
Составленный ряд сходится при
,
но остается недоказанным, что его сумма
.
Поэтому ответ по задаче остается неполным.
Ответ:
сходится абсолютно при
.
Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа:
Можно показать, что:
Остаток ряда Тейлора записывается в нескольких конечных формах, наиболее распространенной из этих форм является форма Лагранжа:
,
где
- некоторая фиксированная точка между
точкой
и точкой х.
2R
Достаточным условием для того, чтобы составленный ряд Тейлора сходился именно к той функции, для которой он составлялся, является условие
,
где
записано в форме Лагранжа.
Пример:
,
,
где
- некоторая фиксированная точка слева
или справа от
(между х и
).
,
так как
при
,
т.е. степенная функция с любым основанием
при увеличении ее основания растет
медленнее, чем факторная ее показателя
(будет обосновано позже).
Таким образом,
ряд
сходится,
- это равенство
называется разложением
в ряд Тейлора в точке
(или по степени
).
Замечания к разложениям функций в ряды Тейлора:
Необходимым условием для разложения функции в ряд Тейлора является существование и непрерывность в точке и производных любого порядка, т.е. функция должна быть непрерывно дифференцируемой бесконечное количество раз в точке и .
- такую функцию в
точке
в ряд Тейлора разложить нельзя, так как
не
( но в точке
и других точках
- можно)
разложение функции в степенной ряд в точке это локальная процедура, так как она выполняется только по некоторой окрестности
Если в точке разлагается в степенной ряд, то это разложение является единственным и совпадает с ее разложением в ряд Маклорена.
Доказательство:
Пусть имеет разложение в ряд по степеням :
,
Это равенство
справедливо при всех х
из промежутка сходимости, следовательно,
справедливо при
,
при
Так как степенные ряды можно почленно дифференцировать, то справедливо равенство:
,
при
.
Аналогично, повторяя
дифференцирование разложения в ряд и
полагая
,
получим
Для произвольно взятого разложения функции в степенной ряд доказали, что его коэффициенты неизбежно совпадают с коэффициентами Тейлора разложение в степенной ряд единственно и совпадает с разложением Тейлора.
Достаточным условием для того, чтобы ряд Тейлора сходился к является условие:
Обоснование этого факта для конкретной функции является, как правило, затруднительным, поэтому в приложениях стараются получить разложение функции в степенной ряд, используя так называемые стандартные разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. При этом и промежуток сходимости и сумма ряда получаются автоматически.
Список стандартных разложений
1.
- область сходимости
2.
3.
4.
(геометрические
ряды)
5. Биномиальное
разложение
– это разложение любой степенной функции
бинома
6.
- точка условной сходимости
Вывод:
Известное разложение:
по свойству степенных рядов:
и
добавилась условная сходимость при
.
7.
,
при
сходится условно
Вывод:
,
при
- добавилась условная сходимость.
Гиперболические функции:
Известное разложение:
Примеры разложения функций в степенные ряды:
1.
Стандартное
разложение:
Ответ:
2.
Стандартное
разложение:
,
т.е. разложение этой функции в ряд
Маклорена устраняет особенность функции
в виде разрыва типа выколотой точки
Ответ:
.
3.
-
разложить по степеням
.
Решение:
Стандартное
биномиальное разложение:
Данную
функцию
,
готовим к применению стандартного
разложения
:
{в
стандартном разложении
полагаем
}=
Пересчет промежутка сходимости:
Ответ:
