§6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости. Радиус сходимости.

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд,членами которого являются степенные функции с натуральным показателем (или равным нулю).

Общий вид степенного ряда:

- степенной ряд по степеням разности ,

где - фиксированное число,

называются коэффициентами степенного ряда ( числа )

Частный случай, когда :

- степенной ряд по степеням .

Теорема Абеля(важнейшая теорема для определения области сходимости степенного ряда):

Если ряд сходится в точке , то он сходится, причем абсолютно, при .

Если ряд расходится в точке , то он расходится при .

Иллюстрация к теореме Абеля:

x=0 – тривиальная точка сходимости степенного ряда

Понимание (обоснование) теоремы Абеля строится на использовании для знакоположительных числовых рядов признака сравнения в непредельной форме.

Следствие из теоремы Абеля:

R

R – радиус сходимости степенного ряда.

Таким образом для степенного ряда можно указать число , называемое радиусом сходимости, такое что область абсолютной сходимости этого ряда представляет собой интервал , симметричный относительно 0 и длины 2R;при этом на интервалах и ряд всегда расходится; точки (точки концов этих интервалов) нужно исследовать для каждого ряда индивидуально.

Схема области сходимости/расходимости степенного ряда (теоретическая):

Аналогично получается теоретическая схема сходимости/расходимости общего степенного ряда

- центр области сходимости.

Радиус сходимости R может оказаться:

1. R=0

2. R=число

3. R=

Примеры:

Определить область сходимости и область расходимости следующих степенных рядов:

Так как степенной ряд по степеням х, то схема его области сходимости имеет вид:

Для вычисления R применим признак Даламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда:

По признаку Даламбера:

Ряд из модулей

исходный степенной ряд сходится абсолютно, только при (признак абсолютной сходимости).

Сравнивая получившиеся результаты с теоретической схемой, заключаем, что:

1. R=1, так как исходный ряд сходится абсолютно только при

2. при абсолютной сходимости быть не может, так как расходится ряд из модулей; сравнивая со схемой, получаем, что - это область расходимости.

Дополнительно исследуем сходимость исходного ряда при :

- ряд Лейбница, сходится условно.

- гармонический ряд, расходится.

Окончательная схема области сходимости/расходимости исходного ряда:

Ответ:

Замечание: если признак Даламбера или радикальный признак Коши применить к степенному ряду в общем виде , то можно получить теоретические формулы для нахождения радиуса сходимости R.

Ряд из модулей:

Признак Даламбера: ряд из модулей сходится, если или расходится, если .

Теоретическая схема области сходимости/расходимости:

2R

Сравнивая результаты, полученные по признаку Даламбера с теоретической схемой, заключаем, что R нужно находить из условий:

Однако выведенные формулы для R не очень удобны на практике, так как:

1. Для их применения нужно анализировать значение

2. Для вычисления нужно, чтобы все были отличны от нуля.

Например, для применять формулы для R нельзя, так как все (нечетные) равны 0.

Основные свойства степенных рядов

Можно показать, что степенной ряд имеет равномерную сходимость при всех х, таких, что , где .

Мажорантом при этом является числовой ряд , так как и ряд сходится, так как точка области абсолютной сходимости исходного ряда.

Таким образом, степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, полностью лежащем внутри области абсолютной сходимости.

Для всех х из области абсолютной сходимости для степенных рядов выполняются свойства, общие для всех равномерно сходящихся рядов:

1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией для области равномерной сходимости

2. Степенной ряд можно в области равномерной сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать, при этом дифференцируется и интегрируется его сумма, а R не изменяется(на концах промежутка при этом возможно изменение характера сходимости).