
- •Оглавление
- •Тема 1. Числовые и степенные ряды. §1. Числовые ряды. Определение. Сходимость. Расходимость. Необходимый признак сходимости.
- •§2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
- •Гармонический ряд:
- •§3. Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости
- •- Знакочередующийся ряд,
- •- Знакопеременный ряд;
- •§4. Основные свойства числовых рядов. Приближенное вычисление суммы числового ряда
- •§5. Функциональные ряды. Определение. Понятие равномерной сходимости.
- •§6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •§7. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •§8. Основные приложения степенных рядов
§5. Функциональные ряды. Определение. Понятие равномерной сходимости.
Функциональным
называется ряд, членами которого являются
функции, например одной переменной
.
Общий вид:
где
Рассматривать ООФ
функции
можно
на
или
.
Примеры функциональных рядов:
1)
- степенной ряд
2)
-
пример тригонометрического ряда
3)
4)
Точка сходимости
функционального ряда
-
это такое числовое значение
,
при котором числовой ряд
является сходящимся.
Точка расходимости функционального ряда - это такое числовое значение , при котором числовой ряд является расходящимся.
Область сходимости функционального ряда – это множество всех его точек сходимости.
Область расходимости функционального ряда – это множество всех его точек расходимости.
Пример:
-
точка сходимости, так как
очевидно сходится.
-
точка сходимости, так как
- сходится абсолютно.
…
-
область сходимости данного ряда
-
область расходимости.
Сумма функционального ряда:
Рассмотрим функциональный ряд в области его сходимости:
области
сходимости
ряда
сумма ряда
области
сходимости ряда, так что
области
сходимости.
Пример:
,
т.е. функция
может быть представлена сходящимся
степенным рядом.
Связь суммы функционального ряда с его частичной суммой:
Рассмотрим сходящийся функциональный ряд:
-
п-я
частичная сумма ряда,
-
п-ый
частичный остаток
области
сходимости
области
сходимости
с
погрешностью
,
при этом определить количество членов
ряда n
придется различным способом для различных
х.
Понятие о равномерной сходимости функционального ряда.
Если функциональный
ряд
сходится
для
,
то
для
для
причем
номер
зависит не только от
,
но и, вообще говоря, зависит от
Если для некоторой
части множества
можно указать в этом определении номер
одинаковый для всех
,
то говорят, что функциональный ряд
при
сходится
равномерно
к функции
.
Иллюстрация к понятию равномерной сходимости
у
0 х
Х
,
но
для различных
,
т.е. равномерной сходимости нет.
у
-коридор
функции
,
х
Х
X’
при
,
причем
можно указать одинаковыми
,
т.е. присутствует равномерная сходимость.
Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают особыми свойствами, а именно только для них выполняются операции
Предельный переход
Интегрирование
Дифференцирование
и т.д.
Список основных свойств равномерно сходящихся рядов
Если функциональный ряд сходится к функции равномерно при , то
Сумма ряда является непрерывной функцией
Функциональный ряд можно почленно интегрировать, в результате получается ряд с суммой, равной интегралу от суммы исходного ряда
Если ряд
сходится равномерно для , то исходный функциональный ряд можно почленно дифференцировать,т.е.
На практике для определения равномерной сходимости рядов применяется достаточный признак Вейерштрасса:
Если для
функционального ряда
,
можно указать знакоположительный
числовой сходящийся ряд
,
такой, что выполняется неравенство
,
то функциональный ряд
на множестве Х
сходится равномерно.
При этом числовой ряд называется мажорантой для функционального ряда , а функциональный ряд называется мажорируемым.
Краткая формулировка признака Вейерштрасса:
Если функциональный ряд является мажорируемым на некотором множестве, то он сходится равномерно на этом множестве.
Для мажорируемых рядов есть еще термин правильно сходящиеся ряды.
Пример:
является
мажорантой для данных функциональных
рядов
данные
функциональные ряды сходятся равномерно
.