Санкт-Петербургский Государственный Университет Информационных Технологий Механики и Оптики

Факультет Компьютерных Технологий и Управления

Кафедра Вычислительной Техники

Основы теории управления

Лабораторная работа 5

Свободное и вынужденное движение линейных систем

Вариант 8

Выполнили: ст. гр. 4101

Намазов А.

Говалло А.

Щеглов К.

г. Санкт-Петербург

2006 г.

1. Цель работы

Исследование динамических свойств линейных систем второго порядка.

2. Теоретические сведения

При исследовании движений линейных динамических систем принято различать свободную и вынужденную составляющие. Свободная составляющая описывает движение системы при отсутствии воздействия на систему со стороны окружающей среды (автономной системы) и обусловлено ее состоянием в начальный момент времени. Вынужденная составляющая представляет собой реакцию системы на входное воздействие и не зависит от ее начального состояния.

Рассмотрим систему второго порядка

где - входное воздействие, — выход системы, - параметры системы. Переменные состояния рассматриваемой системы могут быть определены как , . Тогда система уравнений вход-состояние-выход принимает вид:

с начальными условиями , .

Движение рассматриваемой динамической системы описывается решением дифференциального уравнения и содержит две составляющие ,

где и — соответственно свободная и вынужденная составляющая движения. Свободная составляющая находится как частное решение однородного дифференциального уравнения с начальными условиями . Вынужденная составляющая находится как частное решение неоднородного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях . Таким образом, исследование рассматриваемых процессов сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений.

Вынужденная составляющая движения системы есть решение неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях. Установившейся реакцией на заданное воздействие называют такую функцию , что

Для некоторых видов воздействий, т.е. некоторых функций , удается указать очень простые способы вычисления установившейся реакции системы при условии, что действительная часть каждого корня характеристического уравнения отрицательна. Так реакция системы на воздействие

, где - любое неотрицательное целое число, есть ,

а на воздействие

есть .

Неизвестные постоянные (), участвующие в определении установившейся реакции, определяются из условия обращения уравнения в тождество при подстановке в него соответствующего воздействия и реакции.

3. Схема моделирования

4. Параметры дифференциальных уравнений

Вычислим коэффициенты и найдем аналитическое выражение для свободной составляющей в соответствии с заданным вариантом:

Результаты вычислений

№	Корни		Параметры системы		Начальные условия		Свободная
							составляющая
1	-3	-1.5	4.5	4.5	1	0
2	-1.2+j10	-1.2-j10	6.7	0.2	1	0
3	j10	-j10	100	0	1	0
4	1.2+j10	1.2-j10	6.7	-0.2	0.05	0
5	3	1.5	-4.5	4.5	0.05	0
6	-0.8	0.8	-0.64	0	0	0.1

5. Моделирование свободного движения системы при t≥0

1. 

Система 1

2. 

Система 2

3. 

Система 3

4. 

Система 4

5. 

Система 5

6. 

Система 6

6. Фазовые траектории автономной системы

1. 

Фазовая траектория 2 системы

2. 

Фазовая траектория 3 системы

3. 

Фазовая траектория 4 системы

7. Моделирование вынужденного движения системы

Таблица 1. Параметры системы и входного воздействия

a0	1
a1	2
b	2
g1(t)	1.5
g2(t)	0.4t
g3(t)	sin(2t)

Корни характеристического уравнения: , причем ().

1. 

Установ-еся движ. системы 1

2. 

Установившееся движение системы 2

3. 

Установившееся движение системы 3

8. Вывод

• Свободная и вынужденная составляющие линейного движения находятся как частное решение однородного и частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

• Математически найденные выражения для установившихся движений моделируемой системы согласуются с результатами, полученными в SIMULINK.