6.7. Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины

_{Определение 1. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое именно. Обозначается - .}

_{Определение 2. Законом распределения случайной величины называется любое правило, позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.}

_{Определение 3. Ряд распределения (закон распределения дискретной случайной величины) – таблица, в верхней строке которой перечислены все значения случайной величины в порядке возрастания, а в нижней – соответствующие им вероятности.}

_{Определение 4. Математическое ожидание - - теоретическое среднее значение случайной величины.}

_,

_{где - значения, которые принимает случайная величина; - соответствующие им вероятности.}

_{Определение 5. Дисперсия с}

6.8. Решение задач

_{Задача 1.}

_{В урне 10 одинаковых по размеру и весу шаров, из которых 4 красных 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?}

_{Задача2.}

_{Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?}

_{Задача 3.}

_{Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях в сумме будет 9 очков.}

_{Задача 4.}

_{Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?}

_{Задача 5.}

_{Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной; б) согласной; в) буквой ч?}

_{Задача 6.}

_{Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?}

_{Задача 7.}

_{Сколькими различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, ротор, топор, колокол?}

_{Задача 8.}

_{Сколькими различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?}

_{Задача 9.}

_{Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тор?}

_{Задача 10.}

_{В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.}

_{Задача 11.}

_{Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.}

_{Задача 12.}

_{Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по мишени. Событие - «попадание в мишень при r-ом выстреле (k=1,2,3)». Выразить через следующие события: А-«хотя бы одно попадание», В-«три попадания», С- «три промаха», D – «хотя бы один промах», Е – «не меньше двух попаданий», F – «не более одного попадания», G – «попадание после первого выстрела».}

_{Задача 13.}

_{Упростить выражение .}

_{Задача 14.}

_{Упростить выражение .}

_{Задача 15.}

_{Доказать, что = .}

_{Задача 16.}

_{В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых, 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?}

_{Задача 17.}

_{Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,85, для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен.}

_{Задача 18.}

_{В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно и без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все три шара голубые.}

_{Задача 19.}

_{В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров. В другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет выцнут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.}

_{Задача 20.}

_{Вероятность того, что в течение любой смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?}

_{Задача 21.}

_{Для одной торпеды вероятность попасть в корабль равна 0,65. Какова вероятность того. Что 4 торпеды потопят корабль, если для этого достаточно одного попадания торпеды в цель?}

_{Задача 22.}

_{Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике находится 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый, 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из нег шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.}

_{Задача 23.}

_{В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?}

_{Задача 24.}

_{Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.}

_{Задача 25.}

_{Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.}