6.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Пример 8. В урне находятся 2 белых, 3 красных, 5 синих шаров. Какова вероятность того, что шар, случайным образом извлеченный из урны, окажется цветным (т.е. не белым)?

Решение. Пусть

А=извлечен красный шар,

В=извлечен синий шар.

Тогда

А+В=извлечен цветной шар.

Т.к. события А и В несовместны, то по теореме сложения

Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Пример 9. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение.

Пусть

А={выпало 6 очков при бросании первой игральной кости}.

В={выпало 6 очков при бросании второй игральной кости}.

События А и В совместны, тогда по теореме сложения имеем

Перед тем, как излагать теореме умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие о независимых и зависимых событиях.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не меняется от того, произошло событие А или нет. Событие ВА будем называть зависимым от события В, если его вероятность меняется при наступлении события В.

Пример 10. В урне два белых шара и один черный. Два человека вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются события:

А={появление белого шара у первого человека},

B={появление белого шара у второго человека}.

Вероятность события Адо того, как известно что-либо о событии В, равна . Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится , из чего заключаем, что событие А зависит от события В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается

.

Теорема умножения 1. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Пример 11. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,8, второго – 0,7. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень.

Решение.

Пусть

А={первый стрелок попал в цель},

В={второй стрелок попал в цель},

АВ={оба попали в цель}.

Теорема умножения 2. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло

или

Пример 12. В учебных мастерских детали изготавливаются на двух станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что деталь, оказавшаяся годной, изготовлена на первом станке.

Решение.

А={деталь изготовлена на первом станке},

В={деталь годная}.

По условию P(A)=0,6, P(B/A)=0,8.

Тогда

AB={деталь годная и изготовлена на первом станке},