6.2. Классическое определение вероятности

Элементы комбинаторики. Задачи, в которых производится подсчет всех возможных комбинаций, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. В них дается ответ на вопрос: «сколько», «сколькими способами». Раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

Упорядоченные множества. Пусть А – некоторое дискретное множество (т.е. перечислимое множество элементов). Множество А называется упорядоченным, если для любых его двух элементов и имеет значение порядок расположения элементов.

Пример 3:

Числовые множества (1;2;3) и (3;1;2) – это различные упорядоченные множества, полученные из одного и того же множества {1;2;3}.

Упорядоченные множества записывают, располагая их элементы в круглых скобках. Принято пустое множество считать упорядоченным множеством .

Перестановки – это множества, содержащие все элементов, но отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, т.е. это упорядоченные множества из n элементов. Сколько перестановок можно сделать из n элементов, определяется по формуле:

Пример 4.

Сколько перестановок можно составить из элементов множества {1;2;3}?

Решение.

n=3.

(1,2,3); (1,3,2); (3,1,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,2,1).

Принято считать, что

Размещения – это конечные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов, выбранных из n элементов основного множества, причем . Сколько размещений можно составить из n элементов по m элементов, определяется по формуле:

Пример 5.

Дано множество В{1;2;3;4}. Сколько размещений можно составить из этих 4 элементов по 2?

Решение.

Выпишем их: (1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (2,4); (4,2); (3,4); (4,3).

Сочетания – это такие подмножества из m элементов, причем , которые различаются только набором элементов без учета их взаимного расположения (т.е. порядок расположения не учитывается). Сколько сочетаний из n элементов по m можно составить, определяется по формуле:

Пример 6.

Дано множество В{1;2;3;4}. Сколько сочетаний можно составить из этих 4 элементов по 2?

Выпишем их: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4); (3,4).

• Если в некотором испытании все исходы являются равновозможными и их число конечно, то вероятность наступления события А в результате этого испытания равна отношению числа N(A) благоприятствующих А исходов к числу N всех исходов испытания:

P(A)=

_{Эта формула носит название формулы классической вероятности.}

Пример 7.

Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются 3 и располагаются в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово “ДВА”?

Решение: рассмотрим событие А={получилось слово “ДВА”}.

Вероятность этого события по определению

Значит N=60. Из этих 60 вариантов благоприятным исходом является только один, а именно слово “ДВА”. Таким образом N(A)=1.

где N – это число различных комбинаций из данных нам 5 букв длиной 3. При этом порядок букв этих комбинациях должен учитываться. Т.о. n=5, k=3.

Окончательно получаем