4.6. Решение задач

Задача 1.

Вычислением найти производную функции .

Задача 2.

Продифференцировать следующие функции

1. 2) 3)

Решение.

1. 

2. 

3. 

Задача 3.

Найти производные, если

1. 2)

Решение.

1)

2. 

Задача 4.

Найти , если

2) 3) 4)

Решение.

1. 

2. 3)

4)Предварительно разделим почленно числитель на знаменатель

Задача 5.

Найти производные следующих функций

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

Задача 6.

Найти производные

1. Ответ:

2. ; Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

Задача 7.

Найти производную

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

Задача 8.

Найти производные

1. Ответ:

2. Ответ:

Задача 9.

Найти производные

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

Задача 10.

Найти дифференциал функции .

Решение.

Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал функции

Задача 11.

Дана функция вида Вычислить ее дифференциал при х=0; dx=0,1.

Решение.

полагая х=0; dx=0,1

Задача 12.

Вычислить значение дифференциала функции при х=4; dx=0,01.

Решение.

Задача 13.

При помощи дифференциала найти приближенное значение функции при х=1,02.

Решение.

1. Применим формулу , считая что х=1 и dx=0,02. Получим

2. Вычислим слагаемые

3. 

4. 

Задача 14.

При помощи дифференциала найти приближенное значение

Решение.

Будем рассматривать как частное значение функции при х=17. Выберем ближайшее удобное значение .

1. Тогда

2. Найдем производную

3. Вычислим

4. Вычислим

5. Найдем приближенное значение функции

Задача 15.

При помощи дифференциала найти приближенное значение

Решение.

1. Будем рассматривать как частное значение функции при х=35.

2. Выберем удобное значение , тогда

3. Вычислим

4. Вычислим

5. Найдем приближенное значение

Задача 16.

Вычислить приближенно

Решение.

Полагая, что есть частное значение функции при . Ближайшее значение выразим в радианах . Вычислим

Задача 17.

Вычислить

1. ; Ответ: 2,89.

2. ; Ответ: 2,08.

3. ; Ответ: 3,9961.

4. ; Ответ: 2,0045.

5. ; Ответ: 0,99.

Глава 5. Элементы интегрального исчисления.

5.1. Определение интегрирования.

Интегрированием называется действие, обратное дифференцированию, то есть восстановление функции по данной производной или по данному дифференциалу.

Пусть - производная от функции во всех точках некоторого интервала или, что то же самое, есть дифференциал функции в том же интервале. Тогда функция называется первообразной для функции или дифференциала . Отыскание первообразной функции и есть интегрирование.

5.2. Неопределенный интеграл.

Определение 1. Функция называется первообразной функцией от функции , если выполняется равенство (или, что то же самое, ).

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций от функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается , т.е.

где

- знак интеграла,

- подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение,

С – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла:

1. где a – произвольная постоянная;

2.