4.2. Геометрический смысл производной.

- секущая, - приращение аргумента, у – приращение функции.

- угловой коэффициент секущей;

- угловой коэффициент касательной.

Т.е.

.

Геометрический смысл производной: производная функция в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой .

4.3. Основные правила и формулы дифференцирования.

Нахождение производной по ее определению (через предел) требует громоздких вычислений. Поэтому на практике для нахождения производной выводят формулы производных основных элементарных функций. Затем, используя правила дифференцирования, выражают производную любой функции через эти уже известные производные.

Основные правила дифференцирования.

Пусть С=const, а u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые на некотором множестве функции. Тогда

1. ;

2. ;

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. (где а – действительное число).

Производная сложной функции.

Пусть y=f(u), u=(x), где (x)и f(u) – дифференцируемые функции соответственно по аргументам х и u. Тогда y=f[(x)] – сложная функция, также дифференцируемая по аргументу х.

В других обозначениях

.

Пример 2.

Продифференцировать следующие функции:

1. 2) , 3) 4) .

Решение.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Пример 3.

Найти производную функции .

Решение.

Обозначим , находим .

Тогда

Пример 4.

4.4. Основные формулы дифференцирования.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

4.5. Дифференциал функции.

Определение: дифференциалом dx аргумента х называется его приращение х, т.е.

dx=x.

Дифференциалом dy функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на дифференциал ее аргумента:

При малых х имеют место следующие приближенные формулы:

1. y  dy;

2. f(x+x) f(x)+dy.

Правила нахождения дифференциалов функций аналогичны соответствующим правилам для нахождения производных:

1. d(C)=0;

2. d(uv)=dudv;

3. d(uv)=udv+vdu;

4. d(Cu)=Cdu;

5. d = .

Пример 5.

Найти дифференциал функции .

Решение.

.

Пример 6.

Найти дифференциал функции

Решение.

Пример 7.

Вычислить значение дифференциала функции при х=2 и dx=0,1.

Решение.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Правило. Если требуется вычислить значение функции в точке , т.е. f( ), и если проще вычислить значение этой функции и ее производную в точке (т.е. f( ) и ), то при достаточно малой по абсолютному значению разности можно заменить приращение функции ее дифференциалом

,

отсюда

.

Пример 8.

При помощи дифференциала найти приближенное значение функции при х=3,01.

Решение.

1. . Пусть х=3, ;

2. ;

3. 

4. .

Пример 9.

Вычислить при помощи дифференциала приближенное значение

Решение.

можно рассматривать как частное значение функции при х=28.

1. Выберем ближайшее значение х при котором функция легко вычисляется. Например, при .

2. Разность между рассмотренными значениями аргумента можно принять за дифференциал аргумента .

3. Вычислим значения дифференциала функции при и dx=1. ; .

4. .

Ответ: